已知$n\in N^{*}$，集合$M_{n}=\{\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{4},\dfrac{5}{8},$…$\dfrac{2n-1}{2^{n}}\}$，集合$M_{n}$所有非空子集的最小元素之和为$T_{n}$，则使得$T_{n}\geqslant 180$的最小正整数$n$的值为___.

1. 分析集合 $M_n$ 中元素的大小顺序

设集合 $M_n$ 中的元素为 $a_k = \dfrac{2k-1}{2^k}$，其中 $1 \leqslant k \leqslant n$。
先计算前几项：
$a_1 = \dfrac{1}{2} = 0.5$, $a_2 = \dfrac{3}{4} = 0.75$, $a_3 = \dfrac{5}{8} = 0.625$, $a_4 = \dfrac{7}{16} = 0.4375$。
当 $k \geqslant 2$ 时，
$a_{k+1} - a_k = \dfrac{2k+1}{2^{k+1}} - \dfrac{2k-1}{2^k} = \dfrac{2k+1 - 2(2k-1)}{2^{k+1}} = \dfrac{3-2k}{2^{k+1}} < 0$。
所以当 $k \geqslant 2$ 时，数列 $\{a_k\}$ 严格单调递减。
因此，对于 $n \geqslant 3$，集合 $M_n$ 中的元素按从小到大的顺序排列为：
$a_n < a_{n-1} < \dots < a_4 < a_1 < a_3 < a_2$。

2. 建立所有非空子集最小元素之和 $T_n$ 的表达式

根据子集的性质，若将集合的元素按从小到大排列为 $y_1 < y_2 < \dots < y_n$，则以 $y_i$ 为最小元素的非空子集必须包含 $y_i$，且只能从比 $y_i$ 大的 $n-i$ 个元素中选取其它元素，因此这样的非空子集共有 $2^{n-i}$ 个。
由步骤1的排序，对 $n \geqslant 4$：

• 最小元素为 $a_2$ 的子集有 $2^0 = 1$ 个；
• 最小元素为 $a_3$ 的子集有 $2^1 = 2$ 个；
• 最小元素为 $a_1$ 的子集有 $2^2 = 4$ 个；
• 最小元素为 $a_k$ ($4 \leqslant k \leqslant n$) 的子集有 $2^{k-1}$ 个。
  因此，所有非空子集的最小元素之和为：
  $T_n = a_1 \cdot 4 + a_3 \cdot 2 + a_2 \cdot 1 + \sum_{k=4}^n a_k \cdot 2^{k-1}$
  代入具体值：
  $T_n = \dfrac{1}{2} \cdot 4 + \dfrac{5}{8} \cdot 2 + \dfrac{3}{4} \cdot 1 + \sum_{k=4}^n \dfrac{2k-1}{2^k} \cdot 2^{k-1}$
  $T_n = 2 + \dfrac{5}{4} + \dfrac{3}{4} + \sum_{k=4}^n \dfrac{2k-1}{2} = 4 + \sum_{k=4}^n \dfrac{2k-1}{2}$

3. 求和并化简得到 $T_n$ 的通项公式

利用等差数列求和公式求 $\sum_{k=4}^n \dfrac{2k-1}{2}$：
此求和项数共 $n-3$ 项，首项为 $\dfrac{7}{2}$，末项为 $\dfrac{2n-1}{2}$。
和为：
$\sum_{k=4}^n \dfrac{2k-1}{2} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\left(7 + 2n-1\right)(n-3)}{2} = \dfrac{n^2-9}{2}$
所以：
$T_n = 4 + \dfrac{n^2-9}{2} = \dfrac{n^2-1}{2} \quad (n \geqslant 3)$
（经检验，当 $n=3$ 时，$T_3 = 4$，公式同样成立）。

4. 解不等式求最小正整数 $n$

由 $T_n \geqslant 180$，得：
$\dfrac{n^2-1}{2} \geqslant 180 \implies n^2 - 1 \geqslant 360 \implies n^2 \geqslant 361$
因为 $n \in \mathbb{N}^*$，且 $19^2 = 361$，
所以满足条件的最小正整数 $n$ 的值为 $19$。