从A、B两水库向甲、乙两地调水，其中甲地需水15万吨，乙地需水13万吨，A、B两水库各可调出水14万吨．从A地到甲地50千米，到乙地30千米；从B地到甲地60千米，到乙地45千米．设计一个调运方案使水的调运量（单位：万吨•千米）尽可能小．

1. 用单一变量表示各个运输量，并确定其取值范围

设从A水库向甲地调水 $x$ 万吨，其中 $x \ge 0$。
因为A水库可调出水14万吨，所以从A水库向乙地调水 $(14-x)$ 万吨，需满足 $14-x \ge 0 \implies x \le 14$。
因为甲地共需水15万吨，所以从B水库向甲地调水 $(15-x)$ 万吨，需满足 $15-x \ge 0 \implies x \le 15$。
因为乙地共需水13万吨，所以从B水库向乙地调水 $13 - (14-x) = (x-1)$ 万吨，需满足 $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$。
综上所述，自变量 $x$ 的取值范围为 $1 \le x \le 14$。

2. 建立总调运量关于 $x$ 的函数关系式

设总调运量为 $y$（万吨·千米），根据“调运量 = 调运吨数 $\times$ 调运路程”可得：
$y = 50x + 30(14-x) + 60(15-x) + 45(x-1)$
化简整理得：
$y = 50x + 420 - 30x + 900 - 60x + 45x - 45$
$y = 5x + 1275 \quad (1 \le x \le 14)$
因此，总调运量 $y$ 是关于 $x$ 的一次函数。

3. 利用一次函数的单调性求解最小值及最优方案

在一次函数 $y = 5x + 1275$ 中，因为斜率 $k = 5 > 0$，所以 $y$ 随 $x$ 的增大而增大，即函数在区间 $[1, 14]$ 上单调递增。
因此，当 $x = 1$ 时，调运量 $y$ 取得最小值：
$y_{\min} = 5 \times 1 + 1275 = 1280 \text{（万吨·千米）}$
此时对应的调水方案为：

• 从A水库向甲地调水 $1$ 万吨，向乙地调水 $14 - 1 = 13$ 万吨；
• 从B水库向甲地调水 $15 - 1 = 14$ 万吨，向乙地调水 $1 - 1 = 0$ 万吨。