设锐角$\triangle ABC$的三个内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，且$c=1$，$A=2C$，则$\triangle ABC$周长的取值范围为$(\quad)$

A. $(0,2\text{+}\sqrt{2})\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:$

B. $(0,3\text{+}\sqrt{3}]$

C. $(2\text{+}\sqrt{2},3\text{+}\sqrt{3})\:\:\:\:\:$

D. $(2\text{+}\sqrt{2},3\text{+}\sqrt{3}]$

1. 根据锐角三角形的限制条件求内角 $C$ 的取值范围

由于 $\triangle ABC$ 为锐角三角形，其三个内角均小于 $90^\circ$：
$0^\circ < A < 90^\circ,\quad 0^\circ < B < 90^\circ,\quad 0^\circ < C < 90^\circ$
已知 $A = 2C$，又由三角形内角和定理得 $B = 180^\circ - (A + C) = 180^\circ - 3C$。
由 $A < 90^\circ$ 得 $2C < 90^\circ \implies C < 45^\circ$；
由 $B < 90^\circ$ 得 $180^\circ - 3C < 90^\circ \implies C > 30^\circ$。
综上，角 $C$ 的取值范围为 $30^\circ < C < 45^\circ$。

2. 利用正弦定理将边长用角 $C$ 表示，导出周长关于 $\cos C$ 的函数表达式

由正弦定理 $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$，已知 $c = 1$，则：
$a = \dfrac{\sin A}{\sin C} = \dfrac{\sin 2C}{\sin C} = \dfrac{2\sin C\cos C}{\sin C} = 2\cos C$
$b = \dfrac{\sin B}{\sin C} = \dfrac{\sin(180^\circ - 3C)}{\sin C} = \dfrac{\sin 3C}{\sin C} = \dfrac{3\sin C - 4\sin^3 C}{\sin C} = 3 - 4\sin^2 C = 4\cos^2 C - 1$
因此，$\triangle ABC$ 的周长 $L = a + b + c$ 为：
$L = 2\cos C + (4\cos^2 C - 1) + 1 = 4\cos^2 C + 2\cos C$

3. 换元求二次函数的值域，得出周长的取值范围并确定答案

设 $t = \cos C$。因为 $30^\circ < C < 45^\circ$，所以：
$\cos 45^\circ < \cos C < \cos 30^\circ \implies \dfrac{\sqrt{2}}{2} < t < \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
考虑函数 $f(t) = 4t^2 + 2t$，其对称轴为 $t = -\dfrac{1}{4}$。在区间 $\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 上，$f(t)$ 单调递增。
当 $t \to \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 时，$f(t) \to 4\left(\dfrac{1}{2}\right) + 2\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = 2 + \sqrt{2}$；
当 $t \to \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 时，$f(t) \to 4\left(\dfrac{3}{4}\right) + 2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 3 + \sqrt{3}$。
故周长 $L$ 的取值范围是 $(2+\sqrt{2}, 3+\sqrt{3})$，对应选项 C。