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局部极值问题

局部极大值与极小值问题（最优化问题）。

这个知识点的练习题

1[底面半径为 $r$ 、高为 $h$ 的圆锥体积由 $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ 给出。] 某制造商用同一种材料制作了一个漏斗状的装饰品，它由两部分组成，如图 1所示。 * 一个半径为 $r$ cm、高为 $h$ …
2一个圆心角为 $\theta$ 弧度、半径为 $4\pi\text{ cm}$ 的扇形被用来围成一个直圆锥的侧面，且没有重叠。证明该圆锥的体积为 $\frac{8\pi}{3}\sqrt{4\pi^2\theta^4 - \theta^6}\text{ cm}^3. \hfill [3]$ …
3作为艺术项目的一部分，一个学生设计了一个如图所示的八面体灯笼。灯笼的框架由十二根直铁丝组成，端点相连，形成两个相同的正四棱锥（其底面为边长为 $4x\text{ m}$ 的正方形，侧棱长为 $y\text{ m}$ ）。铁丝框架用彩色纸紧紧包…
4下图显示了一个体积固定为 $4k\sqrt{3}$ 单位 $^{3}$ 的梯形柱体的尺寸，其中变量为 $x$ 和 $y$ 。该柱体的顶面 $ABCD$ 是一个等腰梯形，其中 $AB$ 的长度为 $5x$ 单位， $DC$ 的长度为 $3x$ 单…
5[半径为 $r$ 、高为 $h$ 的直圆锥的体积为 $\frac{1}{3}\pi r^2 h$ 。] 一名学生为他自制的3D打印机制作了一个打印机喷嘴。该打印机喷嘴由一个厚度可忽略的空心倒置直圆锥（其半径为 $r$ mm，其中 $0 < r < 2$ …
6图 1 显示了一个无盖的圆柱形水箱。图 2 显示了该水箱的横截面图。水箱的外半径为 $r$ cm，外高度为 $h$ cm，且整个水箱的材料厚度均为 $a$ cm。水箱的内部容积固定为 $1000\pi$ $\text{cm}^3$ 。证明制…
7一名参加“项目日”（Project Day）的华中（Hwa Chong）学生需要设计一张矩形海报来展示他的项目。根据海报设计的规则，海报应包含 1352 cm\textsuperscript{2} 的印刷区域，上下边距各为 4 cm，左右边…
8图中显示了一个中心在原点的椭圆，其半短轴为 $a$ ，半长轴为 $2a$ ，其中 $a > 0$ 。矩形 $PQRS$ 内接于该椭圆，其四个顶点 $P$ 、 $Q$ 、 $R$ 和 $S$ 均在椭圆上。 $P$ 点的坐标为 $(x, y)$ ，其中 $x$ …
9[球体的表面积和体积分别由 $4\pi r^2$ 和 $\dfrac{4}{3}\pi r^3$ 给出。] 一位预算固定为 $k 的水族爱好者想要建造一个金鱼避难所（鱼缸）。他设计的鱼缸包括一个圆形顶盖、一个长度为 $L$ cm 的圆柱体…
10图 1 展示了一张卡片 $ABCD$ ，它是一个边长为 $a$ cm 的菱形。该卡片由两个完全相同的等边三角形 $ABD$ 和 $CBD$ 组成。从每个角剪掉筝形，得到图 2 所示的形状。将图 2 中剩余的卡片沿虚线折叠，形成一个高为 $x$ …
11[剑桥/J78/II/6] 一个满足 $AB = AC$ 的等腰三角形 $ABC$ 内接于一个半径为 1 个单位的固定圆（圆心为 $O$ ）。角度 $BOC = 2\theta$ ，其中 $\theta$ 为锐角。用 $\theta$ …
12一位德明政府中学校友计划捐资在正信园中央建造两个锦鲤池。这两个水池的形状分别为“D”和“H”，如下图所示（所有尺寸单位均为米，图示未按比例绘制）。阴影区域表示水池表面。“D”形池由一个 $3h$ 乘 $h$ 的矩形和由两个半径分别为 $2r$ …
13如图所示，点 $Q$ 在点 $A$ 的正上方 $400\text{ m}$ 处。初始时，一个气球位于点 $Q$ ，并以 $10\text{ m}$ 每秒的恒定速度沿水平直线运动，远离位于点 $A$ 的观察者。在开始后的时刻 $t$ 秒时，气球…
14下图显示了一条抛物线，它与 $x$ 轴交于点 $(-2a, 0)$ 和 $(2a, 0)$ ，且其顶点（最大值点）为 $(0, 4a^2)$ ，其中 $a$ 是正常数。三角形 $OPQ$ 内接于该抛物线，使得点 $P$ 和 $Q$ 对称地分布在…
15如图所示，一个铅球从点 $O$ 以速度 $v\text{ ms}^{-1}$ 抛出，抛射角与水平方向成 $\theta$ 。点 $O$ 位于地面上点 $A$ 的上方 $1.5\text{m}$ 处。以包含该抛体运动轨迹的平面为 $x$ - $y$ …
16下图显示了两个可导函数 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 的图像。在 $x = c$ 处，两个函数之间的距离达到最大值。证明 $f'(c)=g'(c)$ ，其中 $f'(x)$ 和 $g'(x)$ 分别是 $f(x)$ 和 $g(x)$ …
17在某栋建筑中，有一个 $L$ 形通道（见下图）。通道 1 的固定宽度为 3 米，与通道 1 垂直的通道 2 的固定宽度为 2 米。点 $A$ 和点 $B$ 分别位于通道 1 和通道 2 的一侧墙壁上，使得线段 $AB$ 接触转角 $O$ ，且…
18深度为 $d$ 的输水通道的横截面 $PQRS$ 如下图所示。已知 $PQ+QR+RS=2a$ ，且 $PQ$ 和 $RS$ 各自与直线 $QR$ 的夹角均为 $\theta$ 。证明横截面 $PQRS$ 的面积为 $A=2ad + d^2(\cot\theta -2\csc\theta)$ …
19画出方程为 $\frac{x^2}{400} + \frac{(y-10)^2}{900} = 1.$ 的曲线草图。 [无需在曲线上标出 $x$ 轴截距。] 由该曲线、 $x$ 轴、 $y$ 轴以及直线 $y = 30$ 所围成的位于第…
20已知 $f(x) = \begin{cases} \tfrac{1}{2}x^2, & \text{for } 1 \le x < 2, \\ \tfrac{1}{4}(-3x+14), & \text{for } 2 \le x < 4, \end{cases}$ …
21图 1 展示了从一张边长为 20 cm 的正方形纸板上剪下的三棱柱的展开图。该展开图由一个长宽分别为 $z$ cm 和 $x$ cm 的矩形、两个长宽分别为 $z$ cm 和 $y$ cm 的矩形以及两个底边为 $x$ cm、垂直高度为 $h$ …
22一位农民拥有一块土地 $OAB$ ，其相邻两边为 $OA$ 和 $OB$ 。以 $O$ 为原点， $OA$ 和 $OB$ 分别平行于 $x$ 轴和 $y$ 轴。弧 $AB$ 由参数方程表示： $x = \cos\theta, \quad y = \theta - \frac{1}{2}\sin 2\theta, \quad 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}.$ …
23在等腰三角形 $ABC$ 中， $AC = BC$ ， $AB = 20\text{ cm}$ ，且 $\angle BAC = 30^\circ$ 。一个矩形 $PQRS$ 内接于 $ABC$ ，其中顶点 $P$ 和 $Q$ 在 $AB$ 上，顶点…
24[半径为 $r$ 的球体表面积为 $4\pi r^2$ ，体积为 $\frac{4}{3}\pi r^3$ 。] 碧山东公园中心将建造一个喷水池。它由一个半径为 $r$ m 的半球体与一个半径为 $r$ m、高为 $h$ m 的无盖圆柱体相连组…
25如图所示，一个直圆锥与一个平行于圆锥母线的平面相交，形成一条抛物线。以点 O 为底面圆心的圆锥半径为 $R$ cm，母线长为 $L$ cm，其中 $R$ 和 $L$ 为常数。平面上的点 A、B、C 和 D 满足 $BD = h$ cm， $AB = BC = x$ …
26抛体运动是指发射物体的运动，其仅受重力加速度常数 $g\text{ ms}^{-2}$ 的作用。该物体被称为抛体，其路径被称为轨迹。如上图所示，一个抛体从原点以大小为 $u\text{ ms}^{-1}$ 的初速度发射，其发射角与水平方向…
27下图展示了一个体积固定为 $4k\sqrt{3}$ 单位 $^3$ 的梯形棱柱的尺寸，其中变量为 $x$ 和 $y$ 。该棱柱的顶面 $ABCD$ 是一个等腰梯形，其中 $AB$ 长度为 $5x$ 单位， $DC$ 长度为 $3x$ 单位， $AD = BC$ …
28平面 $\pi_1$ 的方程为 $\mathbf{r}\cdot\begin{pmatrix}2 \\ 5 \\ 1\end{pmatrix}=11.$ 平面 $\pi_2$ 经过点 $A(1,-1,2),\; B(2,3,4)$ 和…
29图 1 展示了一个由等边长为 $a$ cm 的星形纸板折叠而成的六棱锥展开图。该展开图由一个边长为 $x$ cm 的等边六边形和六个底边为 $x$ cm、腰长为 $a$ cm 的等腰三角形组成。将该展开图折叠成一个直正六棱锥，其六边形底面的…
30一张先锋卡纸 $ABCDEF$ 呈边长为 $a\text{ cm}$ 的正六边形。从每个角剪掉一个风筝形，得到如图 1 所示的阴影形状。然后将其折叠成一个高为 $h\text{ cm}$ 的无盖正六边形盒子，如图 2 所示。证明该盒子的体…
31MI PU2 Promo 9758/2019/02/Q1 A 镇、B 镇和 C 镇位于瓦坎迪国（Wakandi Country）。A 镇与 B 镇之间的距离为 60 km，B 镇与 C 镇之间的距离为 20 km。一条铁路连接 A 镇与 B…
32某公司制造一个如下图所示的玻璃密封容器。该密封容器的厚度忽略不计，由两个部分组成。底部是一个底面半径为 $r\text{ cm}$ 、高为 $h\text{ cm}$ 的圆柱体。顶部是一个半径为 $r\text{ cm}$ 的半球。公司要求…
33图 1 展示了一个从一边长为 30 cm 的矩形纸板上裁剪出的直正六棱柱的展开图。该展开图由两个边长为 a cm 的正六边形和六个边长分别为 a cm 和 h cm 的矩形组成。将该展开图折叠后形成一个正六棱柱，其底面为边长 a cm 的正…
34图 1 显示了一个无盖正四棱锥的展开图，该展开图由一张固定边长为 $d$ cm 的正方形纸板裁剪而成。该展开图由四个全等的等腰三角形组成，每个等腰三角形的底边长为 $x$ cm，垂直高度为 $\tfrac{1}{2}d$ cm。将该展开图折…
35一家受欢迎的玩具公司正在为儿童设计一种新的戏水装置。该玩具由一个圆柱形水容器组成，用于盛水以进行各种嬉戏活动。这个圆柱形容器设计为内接于一个固定的、由厚度可忽略不计的耐用塑料制成的刚性半球形外壳中。 [图：下方的横截面图显示了一个半径为 $2a$ …
36[已知棱锥的体积为 $\frac{1}{3} \times (\text{base area}) \times (\text{height})$ 。] 一个垂直高度为 $h$ m 的正棱锥，其底面是边长为 $2x$ m 的正方形，体积为 $\frac{8}{3}\text{ m}^3$ …
37一位照明顾问打算为圣诞节建造一个巨型的八面体灯光结构。该结构的棱由 12 根粗细可忽略不计的直钢棒制成，这些钢棒在端点处焊接在一起，形成两个全等的直四棱锥。如上图所示，每个棱锥的高度为 $3y$ 米，底面是边长为 $2x$ 米的正方形。已知…
38已知函数 $f(x)= \dfrac {ax}{e^{x}}$ 在 $x=0$ 处的切线方程为 $y=x$ ． (1)求 $a$ 的值； (2)若对任意的 $x∈(0,2)$ ，都有 $\dfrac {1}{f(x)} > k+2x-x^{2}$ …
39已知函数 $f(x)=m\ln x$ ． (1)讨论函数 $F(x)=f(x)+ \dfrac {1}{x}-1$ 的单调性； (2)定义：“对于在区域 $D$ 上有定义的函数 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ ，若满足 $f(x)\leqslant g(x)$ …
40下图所示的封闭容器由一个高为 $h\text{ cm}$ 的圆柱体和一个圆锥体拼接而成。圆柱体和圆锥体具有相同的底面半径 $r\text{ cm}$ ，且圆锥的母线与垂直方向成 $30^\circ$ 角。容器的体积为 $70\text{ cm}^3$ …
41[已知半径为 $r$ 、高为 $h$ 、母线长为 $l$ 的圆锥的侧面积为 $\pi r l$ 。] 制造一个圆锥形的饮水杯。其体积为 $50\pi\ \text{cm}^3$ 。证明： $A^2 = \frac{22500\pi^2}{r^2} + \pi^2 r^4,$ …
42一个无盖的金属水箱呈直圆柱体形状。制造该水箱所用金属的总成本为固定金额 $A。用于制作底面的金属每单位面积成本为 $B，用于制作侧面的金属每单位面积成本为 $C，其中 B 和 C 为常数。已知水箱底面半径为 $r$ ，用 $r$ 、 $A$ …
43椭圆的方程为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ，其中 $a$ 和 $b$ 是正实常数。证明如果 $y \ne 0$ ，则 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = -\frac{b^2 x}{a^2 y}$ …
44在一部科幻电影中，创建了一个半球形的能量保护罩（一个敞开的半球），以保护一个正在建造的用于存放致命武器的圆柱形筒仓。筒仓顶部的圆周刚好位于半球罩内，如下图所示。由于电力供应限制，生成的半球罩半径 $r$ 固定为 $0.5\text{ km}$ …
45一个圆锥形杯子由厚度可忽略不计的纸张制成，用于盛装 $20\pi\text{ cm}^3$ 的液体。该开口倒置圆锥的半径为 $r\ \text{cm}$ ，高为 $h\ \text{cm}$ ，如上图所示。杯子的外表面积记为 $A\ \text{cm}^2$ …
46如图所示，一个海上油井位于海中的 $W$ 点，距离陆地上的 $A$ 点有 8 km。石油需要输送到距离 $A$ 点 12 km 的 $B$ 点。铺设管道时，先从 $W$ 铺设一条直的水下管道到 $A$ 和 $B$ 之间的某个点 $P$ ，然后…
47曲线 $C$ 的参数方程为 $x = \frac{\lambda}{1 + \lambda^3} \quad \text{and} \quad y = \frac{\lambda^2}{1 + \lambda^3}, \quad \text{for } \lambda > 0.$ …
48如图所示，一个铅球以速度 $v\ \mathrm{ms}^{-1}$ 从点 $O$ 抛出，与水平方向成 $\theta$ 角。点 $O$ 在地面点 $A$ 上方 $1.5\ \mathrm{m}$ 处。以包含该抛体运动轨迹的平面为 $x$ -…
49[ 底面半径为 $r$ 且高为 $h$ 的圆锥，其体积公式为 $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ 。 ] 一种用于饮水机的一次性纸杯呈圆锥形，由一张半径为 8 cm、厚度可忽略不计的圆形纸片制成。从纸片上剪下一个扇形，如图1…
50图 1 显示了一个由等边长为 $a\text{ cm}$ 的星形纸板折叠而成的六角锥的展开图。该展开图由一个等边长为 $x\text{ cm}$ 的六边形和六个底边为 $x\text{ cm}$ 、腰长为 $a\text{ cm}$ 的等腰三…
51图 1 展示了一张边长为 $a$ cm 的菱形纸板 $ABCD$ 。该纸板由两个完全相同的等边三角形 $ABD$ 和 $CBD$ 组成。从每个角剪掉风筝形，得到图 2 所示的形状。将图 2 中剩余的纸板沿虚线折叠，形成一个高为 $x$ 的无盖…
52一个扇形的半径为 $r$ cm，角为 $\theta$ 弧度。该扇形的面积为 $A\text{ cm}^2$ ，周长为固定值 $k$ cm。证明 $\frac{\text{d}A}{\text{d}r} = \frac{k}{2} - 2r$ …
53画出方程为 $\displaystyle\frac{x^2}{400}+\frac{(y-10)^2}{900}=1.$ [无需在曲线上标出 x 轴截距。] 由该曲线、x 轴、y 轴以及直线 $y=30$ 所围成的位于第一象限的区域绕…
54MI PU2 Promo 9758/2019/02/Q1 A 镇、B 镇和 C 镇位于瓦坎迪国（Wakandi Country）。A 镇和 B 镇之间的距离为 60 km，B 镇和 C 镇之间的距离为 20 km。一条铁路连接 A 镇和 B…
55在一部科幻电影中，为了保护一个正在建造的用于存放致命武器的圆柱形筒仓，创建了一个半球形的力场护盾（一个开半球）。筒仓顶部的圆周恰好位于半球护盾内部，如下图所示。电力供应使得生成的护盾半径 $r$ 固定为 0.5 km。设筒仓的半径和高度分别…
56图 1 展示了一个直正六棱柱的展开图，它是从一张边长为 30 cm 的矩形纸板上裁剪下来的。该展开图由两个边长为 $a$ cm 的正六边形和六个边长分别为 $a$ cm 和 $h$ cm 的矩形组成。将展开图折叠后形成一个直六棱柱，其底面为…
57[已知半径为 $r$ 、圆心角为 $\theta$ 的圆扇形面积为 $\frac{1}{2}r^2\theta$ 。] 一位花商拥有一个形状为以 $O$ 为圆心的圆扇形 $OPQ$ 的温室，并打算围出一块矩形区域来种植玫瑰。花园在下图中由一个…
58一位德明政府中学（Dunman High）的校友计划捐款在正心园（Zheng Xin Yuan）中央建造两个锦鲤池。这两个池塘的形状分别为“D”和“H”，如下图所示（所有尺寸均以米为单位，且图表未按比例绘制）。阴影区域表示池塘的水面。“D…
59糖果被储存在一个封闭的容器中，该容器呈正六棱柱形状，底面边长为 $x\text{ cm}$ ，高为 $h\text{ cm}$ （如下图所示）。已知该容器的体积为 $972\text{ cm}^3$ ，证明其底面积为 $\frac{3\sqrt{3}x^2}{2}\text{ cm}^2$ …
60一个底面半径为 $r$ 且高为 $h$ 的封闭直圆锥，其固定总表面积为 $k\pi$ 单位 $^2$ ，其中 $k$ 是正常数。证明 $r^2 = \frac{k^2}{(h^2 + 2k)}$ 。已知 $r$ 和 $h$ 是变化的，求圆锥的最大…