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渐近线对称性与限制

渐近线方程、对称轴以及对 $x$ 和/或 $y$ 可能取值的限制。

这个知识点的练习题

1曲线 $C$ 的方程为 $y = \frac{x^2 + x + 3}{x - 2}$ 。在不使用计算器的情况下，求 $y$ 可取的值的集合。草拟 $C$ 的图像，清晰写出所有渐近线的方程，以及所有极值点和与坐标轴交点的坐标。通过在 *…
25 (a) 求解下列积分。 $\displaystyle\int \frac{1-2x}{\sqrt{3+2x-x^2}}\,\mathrm{d}x.$ $\displaystyle\int x\ln\left(2-x^2\right)\,\mathrm{d}x$ …
3曲线 $C_1$ 的方程为 $p^2x^2 - y^2 = p^2$ ，其中 $p > 1$ 。画出 $C_1$ 的草图，用 $p$ 表示出其与坐标轴的所有交点坐标、所有驻点坐标以及所有渐近线方程。 $C_1$ 经过单一变换得到 $C_2$ 。…
4将方程为 $y=f(x)$ 的曲线先关于 y 轴进行反射，接着沿 x 轴负方向平移 1 个单位，最后在平行于 y 轴的方向上进行拉伸（缩放因子为 2）。所得曲线的方程由 $y=g(x)$ 给出，其中 $g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}\;,\quad -2<x<0$ …
5曲线 $C$ 的方程为 $y = \frac{x - 2}{kx^2 + x - 2}$ ，其中 $k > 1$ 。求 $C$ 与 $y$ 轴相交的点 $A$ 处的切线方程。画出 $C$ 的草图，并用含 $k$ 的式子给出渐近线方程、极值点…
6在同一坐标系中，画出 $y=5-\dfrac{1}{x-1}$ 和 $y=\dfrac{1}{(x-5)^2}$ 的图像草图。解不等式 $5-\dfrac{1}{x-1}<\dfrac{1}{(x-5)^2}$ 。
7曲线 $C$ 的方程为 $y = \frac{x^2 + kx + 4}{x + 1}$ ，其中 $k$ 为常数。若 $C$ 有两个不同的驻点，求 $k$ 的取值范围。在接下来的问题中，使用 $k = 4$ 。画出 $C$ 的图像，清晰地…
8曲线 C 的方程为 $y = k(x+1) + \dfrac{4}{x+1}$ ， $x \in \mathbb{R}$ ， $x \ne -1$ ，其中 $0 < k < 2$ 是一个常数。将曲线 C 的图像进行以下变换：先关于 x 轴对称，然后…
9求方程 $\left|\dfrac{4x-5}{x-2}\right| = 3x$ 的精确根。在同一坐标系中，画出方程为 $y = \left|\frac{4x-5}{x-2}\right|$ 和 $y = 3x$ 的曲线草图。并由此求不…
10下图显示了 $y = f(x)$ 的图像。该曲线在 $(0,a)$ 处有一个极值点，且直线 $y = \pm kx$ 是该曲线的渐近线，其中 $a$ 和 $k$ 是正实常数。 [续] 现在已知 $\mathrm{f}(x) = a\sqrt{1+x^2}$ …
11曲线 $C$ 的方程为 $x^2 - 4y^2 = 4$ 。画出 $C$ 的草图，并写出其渐近线方程以及与坐标轴交点的坐标。描述一对变换，能将 $C$ 的图像变换为 $(x - 2)^2 - y^2 = 4$ 的图像。
12曲线 $y=f(x)$ 依次进行以下变换： A：关于 y 轴对称 B：沿 x 轴方向平移 2 个单位 C：沿 y 轴方向平移 $-a$ 个单位，其中 $a>1$ 所得曲线的方程为 $y=g(x)$ ，其中 $g(x)=\dfrac{1-3a}{-x+5}$ …
13曲线 $C$ 的方程为 $y = \frac{x^2 - 4x + 4}{x - 1}$ 。画出 $C$ 的草图，清晰地写出所有渐近线的方程、极值点的坐标以及与坐标轴交点的坐标。通过在第 (a) 问的同一图中画出一条合适的图像，求 $b$ …
14曲线 C 的方程为 $\dfrac{y^2}{x^2}=\dfrac{3a-x}{a+x},\quad x \ne 0,$ 其中 $a$ 是正常数。使用代数方法确定 $x$ 的取值范围，结果用 $a$ 表示。在本题的其余部分中，取…
15绘制函数 $y = \frac{7-2x}{3x^2 + x - 14}$ 的图像。给出渐近线的方程、极值点的坐标以及曲线与坐标轴的交点坐标。求 $k$ 的取值范围，使得 $\frac{7-2x}{3x^2 + x - 14} = k$ …
16求表示复数 z 的点 P 的轨迹的笛卡尔方程的最简形式，其中 $|z+3|=2\,\Re(z)$ 。在阿甘特图上画出该轨迹。写出复数 $w$ 的模和辐角，其中 $w=-2+(2\sqrt{3})\,i$ 。已知 $w^{n}$ 是实数，求正整…
17曲线 $C_1$ 和 $C_2$ 的方程分别为 $y = \frac{2x^2 + 9}{x^2 - 4}$ 和 $\frac{y^2}{25} - \frac{x^2}{9} = 1$ 。在同一坐标系中画出 $C_1$ 和 $C_2$ 的…
18(Q3) [Cambridge/H2 Maths 2007] 证明方程 $y = \dfrac{2x + 7}{x + 2}$ 可以写成 $y = A + \dfrac{B}{x + 2}$ 的形式，其中 $A$ 和 $B$ 是待求常数。由…
19在本题中， $a$ 、 $b$ 、 $c$ 和 $d$ 均为非零常数。曲线 $C$ 的方程为 $y = \frac{ax^2 + bx - 7}{x - c}$ ，其斜渐近线 $y = dx + 2$ 与垂直渐近线相交于点 $(4, 6)$ 。求 $a$ …
20已知曲线方程为 $y=\dfrac{x^2-3a^2}{x-a}$ ，其中 $a$ 是正常数。求该曲线的渐近线方程，并证明该曲线上没有驻点。草拟该图像，用含有 $a$ 的式子写出其与坐标轴任何交点的坐标。通过考虑 $y=f'(x)$ 的…
21曲线 $C_1$ 的方程为 $y = \frac{ax^2+bx+3}{x+2}$ ，其中 $a$ 和 $b$ 为常数。已知 $C_1$ 有一条渐近线 $y = x - 3$ 。写出 $a$ 的值并证明 $b = -1$ 。使用代数方法，求…
22函数 f 定义为 $f: x \mapsto \dfrac{1}{1 - x^2}$ ， $-1 < x \le 0$ 。 (i) 定义 $f^{-1}$ 。 (ii) 在同一坐标系中画出 $y = ff^{-1}(x)$ 和 $y = f^{-1}f(x)$ …
23图中显示了 $y = f(x)$ 的图像，其渐近线为 $y = k$ 和 $x = 0$ ，且图像与 x 轴相交于 $(a,0)$ 。在不同的图上，画出下列函数的图像，并给出所有渐近线的方程以及曲线与 x 轴和 y 轴交点的坐标。画出 $y = \dfrac{1}{f(x)}$ …
24曲线 C 的方程为 $y = f(x)$ ，其中 $f(x) = \frac{2(x-1)^2}{x-3}$ 。草拟 C 的图像，并清晰地标出渐近线方程、任何驻点的坐标以及与坐标轴的交点。在另一张图上草拟 $y = f(|x|)$ 的图像。…
25已知 $\mathrm{f}(x) = x + \frac{m^2}{x-2}$ ，其中 $0 < m < 1$ 。画出 $y = \mathrm{f}(x)$ 的图像，清晰地标出极值点的坐标以及所有渐近线的方程。通过在第 (i) 问的草图…
26曲线 $C_1$ 由参数方程定义为 $x = \frac{2}{t-1} \quad\text{and}\quad y = \frac{4}{t+1},\qquad t \ne \pm 1.$ 画出 $C_1$ 的草图，并进行清晰的标注…
27曲线 $C$ 的参数方程定义为 $x = a \tan t, \quad y = a \sec^2 t \sin t, \quad -\frac{\pi}{4} < t < \frac{\pi}{4},$ 其中 $a$ 是正常数。证明…
28曲线 $C$ 的方程为 $y = \frac{1}{\sqrt{bx^2 - 2bx}}$ ，其中 $b < 0$ 。草绘 $C$ 的图像，并在适用时用含有 $b$ 的式子表示出任何渐近线的方程、对称轴方程以及转折点的坐标。
29一杯刚泡好的茶，初始温度为 $85^\circ\text{C}$ ，被放在一间室温为 $25^\circ\text{C}$ 的房间里冷却。20分钟后，茶的温度为 $55^\circ\text{C}$ 。已知茶温的变化率与茶温与室温之差成正比。…
30曲线 $C$ 的方程为 $y = 2ax + \frac{b}{x}$ ，其中 $a$ 和 $b$ 为非零实常数且 $x \ne 0$ 。利用求导，确定当 $ab < 0$ 时曲线 $C$ 是否存在任何驻点。现在已知 $b = \frac{1}{2}a$ …
31用 $a$ 表示方程 $\dfrac{1}{(x-a)^2}=|x-a|$ 的根。在同一坐标系中，画出方程为 $y=\dfrac{1}{(x-a)^2}$ 和 $y=|x-a|$ 的曲线草图，其中 $a>1$ 。由此解不等式 $\dfrac{1}{(x-a)^2}>|x-a|$ …
32变量 $x$ 和 $y$ 满足微分方程 $\pi \dfrac{dy}{dx} + y(3 - \pi \tan x) = 0$ 。通过代换 $y = z\sec x$ ，证明 $\dfrac{dz}{dx} = -\dfrac{3z}{\pi}$ …
33下图显示了函数 $y = f(x)$ 的图像草图。该图像在 $x = 1$ 、 $y = 3$ 和 x 轴处有渐近线。该图像在 $(-1,-3)$ 处有一个驻点，且与坐标轴交于 $(0,0)$ 和 $(2,0)$ 。在不同的图上分别画出以下函数…
34上图显示了对于 $x \\ge 0$ ， $y=f(x)$ 的函数图像草图。在 $1 \\le x \\le 3$ 范围内，曲线下方画有 $n$ 个宽度均为 $h$ 的矩形。每个矩形绕 x 轴旋转 $2\pi$ 弧度，都会得到一个圆柱形薄片。这…
35画出方程为 $y = \ln(x+1), x > -1$ 的曲线草图，写出渐近线方程以及与坐标轴的交点。在同一坐标系中，画出方程为 $y = \sqrt{9-x^2}, -3 \le x \le 3$ 的曲线草图，写出与坐标轴的交点。利用…
36函数 $\text{f}$ 的定义为 $\text{f} : x \to 2x - \frac{1}{2x}, \quad 0 < x < 2.$ 已知 $\text{f}^{-1}$ 存在。以类似的格式定义 $\text{f}^{-1}$ …
37[在此问题中，所给图像的草图未按比例绘制] $y = |\mathrm{f}(x)|$ 和 $y^2 = \mathrm{f}(x)$ 的图像如下所示。在不同的图上，分别画出下列函数的图像草图，写出所有渐近线方程以及与坐标轴交点…
38曲线 $C$ 的方程为 $\frac{(x-1)^2}{9} - y^2 = 1.$ 画出曲线 $C$ 的草图，清晰地标出渐近线的方程、与坐标轴的交点以及顶点（如果有的话）的坐标。已知 $k$ 是正常数，且 $C$ 与方程为 $y^2 + \frac{x^2}{k^2} = 1$ …
39曲线 C 的方程为 $y=\dfrac{2x^{2}-a}{x+k}$ ，其中 $a,\; k>0$ 。已知 $2k^{2}\ne a$ ，求 $k$ 的取值范围，使得曲线 C 具有至少一条平行于 x 轴的切线。当 $2k^{2}=a$ 时，…
40曲线 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的方程分别为 $\dfrac{x^{2}}{9} - \dfrac{y^{2}}{4} = 1$ 和 $y^{2} + x^{2} = k^{2}$ ，其中 $k$ 为正常数。在同一坐标系中画出 $C_{1}$ …
41函数 $\mathrm{f}$ 和 $\mathrm{g}$ 的定义为 $\mathrm{f} : x \to \frac{4}{(x-4)^2}, \quad x \in \mathbb{R}, x \ne 4,$ $\mathrm{g} : x \to \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right), \quad x \in \mathbb{R}, x > 0.$ …
42(Q2) [Cambridge/9231/2007] 曲线 C 的方程为 $y = \frac{ax^2 + bx + c}{x + 4},$ 其中 $a$ ， $b$ 和 $c$ 是常数。已知 $y = 2x - 5$ 是 C 的一条渐近…
43函数 $f$ 定义为 $f : x \mapsto \dfrac{5}{(x-4)^2}$ ，其中 $x\in\mathbb{R},\ x<4$ 。求 $f^{-1}(x)$ 并写出 $f^{-1}$ 的定义域。在同一个清晰标示的图中，画出…
44函数 f 的定义为 $f : x \mapsto 4 + \dfrac{1}{(x-1)^2 + 1},\quad x \ge 0$ 。函数 g 的定义为 g : x \mapsto \sin x,\quad x \in [0,2\pi] $。画出$ …
45曲线的方程为 $y=f(x)$ ，其中 $f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c$ 。曲线 $y=f(x)$ 在 $(1,-32)$ 处有一个极大值点，而曲线 $y=\dfrac{1}{f(x)}$ 有一条方程为 $x=5$ 的垂直渐近线…
46已知曲线 $C$ 的方程为 $y = \dfrac{-4x^2 - 6x - 11}{2x + 2}$ ，其中 $x \in \mathbb{R}$ 且 $x \ne -1$ 。不使用计算器，求 $y$ 不能取的值的集合。画出 $C$ 的草…
47下图显示了 $y = \text{f}(x)$ 的图像。该曲线穿过 $x$ 轴的点为 $(-2, 0)$ 和 $(1, 0)$ ，并且有一个最大值点，其坐标为 $(2, 2)$ 。直线 $x = -1$ 和 $y = 1$ 是该图像的渐近线。…
48在同一坐标系中，画出 $y = \frac{1}{x - 2}$ 和 $y = 4x - 2$ 的函数图像，并清晰地标出渐近线方程以及与坐标轴交点的坐标。由此或通过其他方法，解不等式 $\frac{1}{x - 2} \le 4x - 2$ …
49函数 $\mathrm{f}$ 定义为 $\mathrm{f} : x \mapsto \frac{ax}{x-a}, \quad \text{对于 } x \in \mathbb{R}, \ -a \le x < a,$ 其中 $a$ …
50曲线 $C$ 的方程为 $y = \frac{x^2 + 4x + \lambda - 5}{x + r},$ 其中 $\lambda$ 为非零常数，且有一条垂直渐近线 $x = 1$ 。写出 $r$ 的值并求出 $C$ 的另一条渐近线…
51在同一幅图中，画出方程为 $y = \frac{|x + 1|}{|x - 2|}$ 和 $y = \ln\left(1 - \frac{x}{2}\right) + \tfrac{1}{2}$ 的曲线，指出所有渐近线的方程以及与坐标轴的交…
52画出方程为 $y = \frac{x-2}{x-1}$ 的曲线 $C$ 的草图，写出其与坐标轴的交点的精确坐标以及所有渐近线的方程。通过在草图中添加一条直线，解不等式 $\frac{x-2}{x-1} \le 2-x$ 。由此，解不等式…
53已知一曲线的参数方程为 $x=2t$ ， $y=e^{-t^2}$ 。草拟该曲线的图像，写出其与坐标轴任何交点的精确坐标以及任何渐近线的方程。求该曲线在点 $\left(2p,e^{-p^2}\right)$ 处的法线方程。在点 $C\left(2,\frac{1}{e}\right)$ …
54曲线 $C_1$ 的方程为 $y = \dfrac{ax^2+bx+3}{x+2}$ ，其中 $a$ 和 $b$ 为常数。已知 $C_1$ 有一条渐近线 $y = x - 3$ 。写出 $a$ 的值并证明 $b = -1$ 。使用代数方法，求…
55图示为 $y = \text{f}'(x)$ 的图像，它经过原点，且极值点为 $(2, 5)$ 和 $(6, 0)$ 。 $y = \text{f}'(x)$ 的图像有一条垂直渐近线 $x = -1$ 和一条水平渐近线 $y = 5$ 。草拟…
56画出 $(y+2)^2 = 4(x-1)^2 - 9$ 的图像，并展示其主要特征。由此求 $k$ 的取值范围，使得方程 $9 + (y+2)^2 = 4(k^2 - 1)^2.$ 没有实数根。下图显示了 $y = h(3 - x)$ …
57写出将方程为 $y^{2}-x^{2}=1$ 的曲线变换为方程为 $9y^{2}-54y - x^{2} - 2x + 79 = 0.$ 的曲线的一系列变换步骤。曲线 $C$ 的方程为 $9y^{2}-54y - x^{2} - 2x + 79 = 0.$ …
58函数 $\mathrm{f}$ 定义为 $\mathrm{f} : x \mapsto \frac{2x}{x^2 - 1}, \quad x \in \mathbb{R}, \ x > 1$ 。草绘 $\mathrm{f}$ 的图像并证明…
59如果对于 $\text{h}$ 定义域中的所有 $x$ ，都有 $\text{h}(x) = \text{h}^{-1}(x)$ ，则称函数 $\text{h}$ 为自反函数。函数 $\text{f}$ 和 $\text{g}$ 定义为 $\begin{aligned} \text{f}(x) &= 2 + \frac{1}{x-2}, \quad \text{for } x \in \mathbb{R}, x > 2 \\ \text{g}(x) &= \begin{cases} 3x - 1 & \text{for } x \le 1, \\ (x-1)^2 + 2 & \text{for } x > 1. \end{cases} \end{aligned}$ …
60变量 $x$ 和 $y$ 由微分方程 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} = 2\mathrm{e}^{-2x} .$ 相关联。求解该微分方程。由此求出一条可能具有斜渐近线的解曲线，并给出该斜渐近…