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基本初等函数图像特征

以下函数图像的重要特征（如对称性、与坐标轴的交点、转折点和渐近线）：

  • y2=axy^2 = ax
  • x2=byx^2 = by
  • x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1
  • x2a2−y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1 与 y2b2−x2a2=1\dfrac{y^2}{b^2} - \dfrac{x^2}{a^2} = 1
  • y=ax+bcx+dy = \dfrac{ax + b}{cx + d}
  • y=ax2+bx+cdx+ey = \dfrac{ax^2 + bx + c}{dx + e}

这个知识点的练习题

  1. 1曲线 CC 的方程为 y=x2+x+3x−2y = \frac{x^2 + x + 3}{x - 2}。 在不使用计算器的情况下，求 yy 可取的值的集合。 草拟 CC 的图像，清晰写出所有渐近线的方程，以及所有极值点和与坐标轴交点的坐标。 通过在 *…
  2. 2函数 ff 和 gg 的定义如下： f:x↦16−4x,  x∈R,  x≤4,f : x \mapsto \sqrt{16 - 4x},\; x \in \mathbb{R},\; x \le 4, g:x↦x2,  x∈R.g : x \mapsto x^{2},\; x \in \mathbb{R}.…
  3. 3通过将曲线方程 y=12x+112x+1y = \frac{12x + 11}{2x + 1} 表示为 y=A+B2x+1y = A + \frac{B}{2x + 1} 的形式（其中 AA 和 BB 是常数），描述一个由三个变换组成的序列，该序列将 y=12x−3y = \frac{1}{2x - 3}…
  4. 45 (a) 求解下列积分。 ∫1−2x3+2x−x2 dx.\displaystyle\int \frac{1-2x}{\sqrt{3+2x-x^2}}\,\mathrm{d}x. ∫xln⁡(2−x2) dx\displaystyle\int x\ln\left(2-x^2\right)\,\mathrm{d}x…
  5. 5曲线 C1C_1 的方程为 p2x2−y2=p2p^2x^2 - y^2 = p^2，其中 p>1p > 1。 画出 C1C_1 的草图，用 pp 表示出其与坐标轴的所有交点坐标、所有驻点坐标以及所有渐近线方程。 C1C_1 经过单一变换得到 C2C_2。…
  6. 6在同一幅图中，画出 y=∣2x+3∣y = |2x + 3| 和 y=−2x2−8x−3y = -2x^2 - 8x - 3 的图像。 （你不需要标出任何轴交点和驻点。） 精确求解不等式 ∣2x+3∣>−2x2−8x−3|2x + 3| > -2x^2 - 8x - 3。
  7. 7方程为 x2a2+y24a2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{4a^2}=1 的曲线 C1C_1 经以下变换得到曲线 C2C_2：先沿 xx 轴正方向平移 aa 个单位，然后沿平行于 xx 轴的方向以比例因子 22 进行拉伸，最…
  8. 8曲线 CC 的方程为 y=x−2kx2+x−2y = \frac{x - 2}{kx^2 + x - 2}，其中 k>1k > 1。 求 CC 与 yy 轴相交的点 AA 处的切线方程。 画出 CC 的草图，并用含 kk 的式子给出渐近线方程、极值点…
  9. 9在同一坐标系中，画出 y=5−1x−1y=5-\dfrac{1}{x-1} 和 y=1(x−5)2y=\dfrac{1}{(x-5)^2} 的图像草图。 解不等式 5−1x−1<1(x−5)25-\dfrac{1}{x-1}<\dfrac{1}{(x-5)^2}。
  10. 10曲线 CC 的方程为 y=x2+kx+4x+1y = \frac{x^2 + kx + 4}{x + 1}，其中 kk 为常数。 若 CC 有两个不同的驻点，求 kk 的取值范围。 在接下来的问题中，使用 k=4k = 4。 画出 CC 的图像，清晰地…
  11. 11曲线 C 的方程为 y=k(x+1)+4x+1y = k(x+1) + \dfrac{4}{x+1}，x∈Rx \in \mathbb{R}，x≠−1x \ne -1，其中 0<k<20 < k < 2 是一个常数。 将曲线 C 的图像进行以下变换：先关于 x 轴对称，然后…
  12. 12求方程 ∣4x−5x−2∣=3x\left|\dfrac{4x-5}{x-2}\right| = 3x 的精确根。 在同一坐标系中，画出方程为 y=∣4x−5x−2∣y = \left|\frac{4x-5}{x-2}\right| 和 y=3xy = 3x 的曲线草图。并由此求不…
  13. 13曲线 CC 的方程为 x2−4y2=4x^2 - 4y^2 = 4。 画出 CC 的草图，并写出其渐近线方程以及与坐标轴交点的坐标。 描述一对变换，能将 CC 的图像变换为 (x−2)2−y2=4(x - 2)^2 - y^2 = 4 的图像。
  14. 14曲线 y=f(x)y=f(x) 依次进行以下变换： A：关于 y 轴对称 B：沿 x 轴方向平移 2 个单位 C：沿 y 轴方向平移 −a-a 个单位，其中 a>1a>1 所得曲线的方程为 y=g(x)y=g(x)，其中 g(x)=1−3a−x+5g(x)=\dfrac{1-3a}{-x+5}…
  15. 15图中显示了一个中心在原点的椭圆，其半短轴为 aa，半长轴为 2a2a，其中 a>0a > 0。矩形 PQRSPQRS 内接于该椭圆，其四个顶点 PP、QQ、RR 和 SS 均在椭圆上。PP 点的坐标为 (x,y)(x, y)，其中 xx…
  16. 16曲线 CC 的方程为 y=x2−4x+4x−1y = \frac{x^2 - 4x + 4}{x - 1}。 画出 CC 的草图，清晰地写出所有渐近线的方程、极值点的坐标以及与坐标轴交点的坐标。 通过在第 (a) 问的同一图中画出一条合适的图像，求 bb…
  17. 17函数 f 的定义域为全体实数集，由下式给出： f(x)={4−x2for 0<x≤2,2x−4for 2<x≤4,\text{f}(x) = \begin{cases} 4 - x^2 & \text{for } 0 < x \le 2, \\ 2x - 4 & \text{for } 2 < x \le 4, \end{cases}…
  18. 18第一部分：纯粹数学 [60 分] 曲线 CC 的方程为 y=x2−2x+4x−by = \frac{x^2 - 2x + 4}{x - b}，x≠bx \ne b。 已知 yy 不能取 −2-2 和 66 之间的值，利用代数方法证明 b=2b = 2。 描述…
  19. 19下图显示了一条抛物线，它与 xx 轴交于点 (−2a,0)(-2a, 0) 和 (2a,0)(2a, 0)，且其顶点（最大值点）为 (0,4a2)(0, 4a^2)，其中 aa 是正常数。三角形 OPQOPQ 内接于该抛物线，使得点 PP 和 QQ 对称地分布在…
  20. 20绘制函数 y=7−2x3x2+x−14y = \frac{7-2x}{3x^2 + x - 14} 的图像。给出渐近线的方程、极值点的坐标以及曲线与坐标轴的交点坐标。 求 kk 的取值范围，使得 7−2x3x2+x−14=k\frac{7-2x}{3x^2 + x - 14} = k…
  21. 21求表示复数 z 的点 P 的轨迹的笛卡尔方程的最简形式，其中 ∣z+3∣=2 ℜ(z)|z+3|=2\,\Re(z)。在阿甘特图上画出该轨迹。 写出复数 ww 的模和辐角，其中 w=−2+(23) iw=-2+(2\sqrt{3})\,i。已知 wnw^{n} 是实数，求正整…
  22. 22曲线 C1C_1 和 C2C_2 的方程分别为 y=2x2+9x2−4y = \frac{2x^2 + 9}{x^2 - 4} 和 y225−x29=1\frac{y^2}{25} - \frac{x^2}{9} = 1。 在同一坐标系中画出 C1C_1 和 C2C_2 的…
  23. 23(Q3) [Cambridge/H2 Maths 2007] 证明方程 y=2x+7x+2y = \dfrac{2x + 7}{x + 2} 可以写成 y=A+Bx+2y = A + \dfrac{B}{x + 2} 的形式，其中 AA 和 BB 是待求常数。由…
  24. 24函数 f 定义为 f(x)=ln⁡(5−x),  x<5f(x)=\ln(5-x),\; x<5。 求由曲线 y=f(x)y=f(x) 以及 x 轴和 y 轴所围成的区域绕 y 轴完全旋转一周所得旋转体的体积。答案精确到两位小数。 写出使得 f(∣x∣)=∣f(x)∣f(|x|)=|f(x)| 成立的…
  25. 25下图显示了 0lex<2a0 \\le x < 2a 时 y=f(x)y = f(x) 的部分图像草图。垂直渐近线 x=2ax = 2a 也是该图像的一条对称轴。 在不同的示意图中，分别画出下列函数的图像草图： (i) 当 0≤x≤4a0 \le x \le 4a 时的…
  26. 26(Q1) [Cambridge/9794/2007] 一个圆的方程为 x2+y2−8y=9x^2 + y^2 - 8y = 9。 求该圆的圆心坐标和半径。 一条直线的方程为 x=3y+kx = 3y + k，其中 kk 为常数。证明该直线与圆的交点的 yy 坐…
  27. 27在本题中，aa、bb、cc 和 dd 均为非零常数。 曲线 CC 的方程为 y=ax2+bx−7x−cy = \frac{ax^2 + bx - 7}{x - c}，其斜渐近线 y=dx+2y = dx + 2 与垂直渐近线相交于点 (4,6)(4, 6)。 求 aa…
  28. 28已知曲线方程为 y=x2−3a2x−ay=\dfrac{x^2-3a^2}{x-a}，其中 aa 是正常数。 求该曲线的渐近线方程，并证明该曲线上没有驻点。 草拟该图像，用含有 aa 的式子写出其与坐标轴任何交点的坐标。 通过考虑 y=f′(x)y=f'(x) 的…
  29. 29画出方程为 x2400+(y−10)2900=1.\frac{x^2}{400} + \frac{(y-10)^2}{900} = 1. 的曲线草图。 [无需在曲线上标出 xx 轴截距。] 由该曲线、 xx 轴、 yy 轴以及直线 y=30y = 30 所围成的位于第…
  30. 30曲线 C 的方程为 y=f(x)y = f(x)，其中 f(x)=2(x−1)2x−3f(x) = \frac{2(x-1)^2}{x-3}。 草拟 C 的图像，并清晰地标出渐近线方程、任何驻点的坐标以及与坐标轴的交点。 在另一张图上草拟 y=f(∣x∣)y = f(|x|) 的图像。…
  31. 31已知 f(x)=x+m2x−2\mathrm{f}(x) = x + \frac{m^2}{x-2}，其中 0<m<10 < m < 1。 画出 y=f(x)y = \mathrm{f}(x) 的图像，清晰地标出极值点的坐标以及所有渐近线的方程。 通过在第 (i) 问的草图…
  32. 32曲线 C1C_1 由参数方程定义为 x=2t−1andy=4t+1,t≠±1.x = \frac{2}{t-1} \quad\text{and}\quad y = \frac{4}{t+1},\qquad t \ne \pm 1. 画出 C1C_1 的草图，并进行清晰的标注…
  33. 33曲线 CC 的方程为 y=1bx2−2bxy = \frac{1}{\sqrt{bx^2 - 2bx}}，其中 b<0b < 0。草绘 CC 的图像，并在适用时用含有 bb 的式子表示出任何渐近线的方程、对称轴方程以及转折点的坐标。
  34. 34曲线 CC 的方程为 y=2ax+bxy = 2ax + \frac{b}{x}，其中 aa 和 bb 为非零实常数且 x≠0x \ne 0。 利用求导，确定当 ab<0ab < 0 时曲线 CC 是否存在任何驻点。 现在已知 b=12ab = \frac{1}{2}a…
  35. 35函数 f\mathrm{f} 定义为 f(x)={4−xfor 1≤x<3,(x−4)2for 3≤x<4,\mathrm{f}(x) = \begin{cases} 4 - x & \text{for } 1 \le x < 3, \\ (x - 4)^2 & \text{for } 3 \le x < 4, \end{cases}…
  36. 36已知 f(x)={4x,0≤x<1(3−x)2,1≤x≤3f(x)=\begin{cases}4x,&0\le x<1\\(3-x)^2,&1\le x\le 3\end{cases} 且 f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x)。已知对于所有实数 xx，f(x)=f(x+6)f(x)=f(x+6) 均成立。…
  37. 37用 aa 表示方程 1(x−a)2=∣x−a∣\dfrac{1}{(x-a)^2}=|x-a| 的根。 在同一坐标系中，画出方程为 y=1(x−a)2y=\dfrac{1}{(x-a)^2} 和 y=∣x−a∣y=|x-a| 的曲线草图，其中 a>1a>1。 由此解不等式 1(x−a)2>∣x−a∣\dfrac{1}{(x-a)^2}>|x-a|…
  38. 38画出方程为 x2−(y+1)2=1x^2 - (y + 1)^2 = 1 的曲线 CC 的草图，清晰地标出与坐标轴的任何交点的坐标以及任何渐近线的方程。 曲线 CC 经历如下一连串的三个变换： I：沿平行于 xx 轴的方向拉伸，比例因子为 4， II：…
  39. 39在可再生自然资源的采收中，理想的情况是制定政策以允许最大程度地采收自然资源，同时又不使资源消耗到可持续水平以下。针对太平洋某一特定区域野生鲑鱼种群数量变化率，设计了一个简化的采收模型，公式如下： dPdt=P(4−P)−h,\frac{\text{d}P}{\text{d}t} = P(4 - P) - h,…
  40. 40画出方程为 y=ln⁡(x+1),x>−1y = \ln(x+1), x > -1 的曲线草图，写出渐近线方程以及与坐标轴的交点。在同一坐标系中，画出方程为 y=9−x2,−3≤x≤3y = \sqrt{9-x^2}, -3 \le x \le 3 的曲线草图，写出与坐标轴的交点。 利用…
  41. 41曲线 CC 的方程为 (x−1)29−y2=1.\frac{(x-1)^2}{9} - y^2 = 1. 画出曲线 CC 的草图，清晰地标出渐近线的方程、与坐标轴的交点以及顶点（如果有的话）的坐标。 已知 kk 是正常数，且 CC 与方程为 y2+x2k2=1y^2 + \frac{x^2}{k^2} = 1…
  42. 42曲线 C 的方程为 y=2x2−ax+ky=\dfrac{2x^{2}-a}{x+k}，其中 a,  k>0a,\; k>0。 已知 2k2≠a2k^{2}\ne a，求 kk 的取值范围，使得曲线 C 具有至少一条平行于 x 轴的切线。 当 2k2=a2k^{2}=a 时，…
  43. 43曲线 C1C_{1} 和 C2C_{2} 的方程分别为 x29−y24=1\dfrac{x^{2}}{9} - \dfrac{y^{2}}{4} = 1 和 y2+x2=k2y^{2} + x^{2} = k^{2}，其中 kk 为正常数。 在同一坐标系中画出 C1C_{1}…
  44. 44函数 f\mathrm{f} 和 g\mathrm{g} 的定义为 f:x→4(x−4)2,x∈R,x≠4,\mathrm{f} : x \to \frac{4}{(x-4)^2}, \quad x \in \mathbb{R}, x \ne 4, g:x→ln⁡(1+1x),x∈R,x>0.\mathrm{g} : x \to \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right), \quad x \in \mathbb{R}, x > 0.…
  45. 45(Q2) [Cambridge/9231/2007] 曲线 C 的方程为 y=ax2+bx+cx+4,y = \frac{ax^2 + bx + c}{x + 4}, 其中 aa，bb 和 cc 是常数。已知 y=2x−5y = 2x - 5 是 C 的一条渐近…
  46. 46函数 ff 定义为 f:x↦5(x−4)2f : x \mapsto \dfrac{5}{(x-4)^2}，其中 x∈R, x<4x\in\mathbb{R},\ x<4。 求 f−1(x)f^{-1}(x) 并写出 f−1f^{-1} 的定义域。 在同一个清晰标示的图中，画出…
  47. 47曲线 CC 由参数方程 x=t2x = t^2 和 y=2t+t3y = 2t + t^3 定义，其中 −1≤t≤1-1 \le t \le 1。 草拟 CC 的图像。 在不使用计算器的情况下，求 CC 在 t=12t = \frac{1}{2} 处的法线方程…
  48. 48函数 f 的定义为 f:x↦4+1(x−1)2+1,x≥0f : x \mapsto 4 + \dfrac{1}{(x-1)^2 + 1},\quad x \ge 0。 函数 g 的定义为 g : x \mapsto \sin x,\quad x \in [0,2\pi]。画出。 画出 …
  49. 49已知曲线 CC 的方程为 y=−4x2−6x−112x+2y = \dfrac{-4x^2 - 6x - 11}{2x + 2}，其中 x∈Rx \in \mathbb{R} 且 x≠−1x \ne -1。 不使用计算器，求 yy 不能取的值的集合。 画出 CC 的草…
  50. 50在同一坐标系中，画出 y=1x−2y = \frac{1}{x - 2} 和 y=4x−2y = 4x - 2 的函数图像，并清晰地标出渐近线方程以及与坐标轴交点的坐标。 由此或通过其他方法，解不等式 1x−2≤4x−2\frac{1}{x - 2} \le 4x - 2…
  51. 51函数 f\mathrm{f} 定义为 f:x↦axx−a,对于 x∈R, −a≤x<a,\mathrm{f} : x \mapsto \frac{ax}{x-a}, \quad \text{对于 } x \in \mathbb{R}, \ -a \le x < a, 其中 aa…
  52. 52曲线 CC 的方程为 y=xcos⁡2xy = x\cos 2x，其中 0≤x≤π0 \le x \le \pi。 求 CC 与 xx 轴相交之点的精确 xx 坐标。 画出 CC 的草图，并写出该曲线与 xx 轴和 yy 轴的所有交点的坐标。 求…
  53. 53曲线 CC 的方程为 y=x2+4x+λ−5x+r,y = \frac{x^2 + 4x + \lambda - 5}{x + r}, 其中 λ\lambda 为非零常数，且有一条垂直渐近线 x=1x = 1。 写出 rr 的值并求出 CC 的另一条渐近线…
  54. 54在同一幅图中，画出方程为 y=∣x+1∣∣x−2∣y = \frac{|x + 1|}{|x - 2|} 和 y=ln⁡(1−x2)+12y = \ln\left(1 - \frac{x}{2}\right) + \tfrac{1}{2} 的曲线，指出所有渐近线的方程以及与坐标轴的交…
  55. 55画出方程为 y=x−2x−1y = \frac{x-2}{x-1} 的曲线 CC 的草图，写出其与坐标轴的交点的精确坐标以及所有渐近线的方程。 通过在草图中添加一条直线，解不等式 x−2x−1≤2−x\frac{x-2}{x-1} \le 2-x。 由此，解不等式…
  56. 56已知一曲线的参数方程为 x=2tx=2t，y=e−t2y=e^{-t^2}。 草拟该曲线的图像，写出其与坐标轴任何交点的精确坐标以及任何渐近线的方程。 求该曲线在点 (2p,e−p2)\left(2p,e^{-p^2}\right) 处的法线方程。 在点 C(2,1e)C\left(2,\frac{1}{e}\right)…
  57. 57第一部分：纯粹数学 [40分] 在同一坐标轴上画出 y=3xy = 3x 和 y=∣x2−a2∣y = |x^2 - a^2| 的图象，其中 a>0a > 0。 求 ∣x2−a2∣=3x|x^2 - a^2| = 3x 在 0<x<a0 < x < a 范围内的准确解。
  58. 58画出 (y+2)2=4(x−1)2−9(y+2)^2 = 4(x-1)^2 - 9 的图像，并展示其主要特征。 由此求 kk 的取值范围，使得方程 9+(y+2)2=4(k2−1)2.9 + (y+2)^2 = 4(k^2 - 1)^2. 没有实数根。 下图显示了 y=h(3−x)y = h(3 - x)…
  59. 59写出将方程为 y2−x2=1y^{2}-x^{2}=1 的曲线变换为方程为 9y2−54y−x2−2x+79=0.9y^{2}-54y - x^{2} - 2x + 79 = 0. 的曲线的一系列变换步骤。 曲线 CC 的方程为 9y2−54y−x2−2x+79=0.9y^{2}-54y - x^{2} - 2x + 79 = 0.…
  60. 60如果对于 h\text{h} 定义域中的所有 xx，都有 h(x)=h−1(x)\text{h}(x) = \text{h}^{-1}(x)，则称函数 h\text{h} 为自反函数。 函数 f\text{f} 和 g\text{g} 定义为 f(x)=2+1x−2,for x∈R,x>2g(x)={3x−1for x≤1,(x−1)2+2for x>1.\begin{aligned} \text{f}(x) &= 2 + \frac{1}{x-2}, \quad \text{for } x \in \mathbb{R}, x > 2 \\ \text{g}(x) &= \begin{cases} 3x - 1 & \text{for } x \le 1, \\ (x-1)^2 + 2 & \text{for } x > 1. \end{cases} \end{aligned}…