画出方程为 $x^2 - (y + 1)^2 = 1$ 的曲线 $C$ 的草图，清晰地标出与坐标轴的任何交点的坐标以及任何渐近线的方程。 曲线 $C$ 经历如下一连串的三个变换： I：沿平行于 $x$ 轴的方向拉伸，比例因子为 4，
II：沿平行于 $y$ 轴的方向拉伸，比例因子为 $\frac{1}{2}$，
III：向 $y$ 轴正方向平移 2 个单位。 求变换后的曲线方程。

1. 求曲线 $C$ 与坐标轴的交点坐标以及渐近线方程

曲线 $C$ 的方程为 $x^2 - (y + 1)^2 = 1$。

1. 与 $x$ 轴的交点：令 $y = 0$，得 $x^2 - (0 + 1)^2 = 1 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}$。
   故与 $x$ 轴的交点坐标为 $(\sqrt{2}, 0)$ 和 $(-\sqrt{2}, 0)$。
2. 与 $y$ 轴的交点：令 $x = 0$，得 $-(y + 1)^2 = 1 \Rightarrow (y + 1)^2 = -1$，无实数解，故曲线与 $y$ 轴没有交点。
3. 渐近线方程：令 $x^2 - (y + 1)^2 = 0$，得 $y + 1 = \pm x$，即渐近线方程为 $y = x - 1$ 和 $y = -x - 1$。

2. 绘制曲线 $C$ 的草图

曲线 $C$ 为双曲线，中心在 $(0, -1)$，顶点坐标为 $(1, -1)$ 和 $(-1, -1)$。
画图时需清晰标出：

• 顶点 $(1, -1)$ 和 $(-1, -1)$；
• 与 $x$ 轴的交点 $(\sqrt{2}, 0)$ 和 $(-\sqrt{2}, 0)$；
• 两条渐近线 $y = x - 1$ 和 $y = -x - 1$。

3. 对曲线 $C$ 依次施加三种变换并求出最终方程

原曲线 $C$ 方程为 $x^2 - (y + 1)^2 = 1$。

• 变换 I（沿 $x$ 轴方向伸缩，伸缩比例为 4）：用 $\dfrac{x}{4}$ 替换 $x$，得到方程：
  $\left(\frac{x}{4}\right)^2 - (y + 1)^2 = 1 \implies \frac{x^2}{16} - (y + 1)^2 = 1$
• 变换 II（沿 $y$ 轴方向伸缩，伸缩比例为 $\dfrac{1}{2}$）：用 $2y$ 替换 $y$，得到方程：
  $\frac{x^2}{16} - (2y + 1)^2 = 1$
• 变换 III（沿 $y$ 轴正方向平移 2 个单位）：用 $y - 2$ 替换 $y$，得到方程：
  $\frac{x^2}{16} - [2(y - 2) + 1]^2 = 1 \implies \frac{x^2}{16} - (2y - 3)^2 = 1$