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函数图像变换

变换对 y=f(x)y = \mathrm{f}(x) 图像的影响，包括 y=a f(x)y = a\,\mathrm{f}(x)、y=f(x)+ay = \mathrm{f}(x) + a、y=f(x+a)y = \mathrm{f}(x + a)、 y=f(ax)y = \mathrm{f}(ax) 及其组合变换。

这个知识点的练习题

  1. 1将函数f(x)=sin⁡2xf(x)=\sin 2x的图象保持纵坐标不变，先将横坐标缩短为原来的12\dfrac{1}{2}，再向右平移π6\dfrac{π}{6}个单位长度后得到g(x)g(x)，则g(x)g(x)的解析式为()(\quad)…
  2. 2通过将曲线方程 y=12x+112x+1y = \frac{12x + 11}{2x + 1} 表示为 y=A+B2x+1y = A + \frac{B}{2x + 1} 的形式（其中 AA 和 BB 是常数），描述一个由三个变换组成的序列，该序列将 y=12x−3y = \frac{1}{2x - 3}…
  3. 3曲线 C1C_1 的方程为 p2x2−y2=p2p^2x^2 - y^2 = p^2，其中 p>1p > 1。 画出 C1C_1 的草图，用 pp 表示出其与坐标轴的所有交点坐标、所有驻点坐标以及所有渐近线方程。 C1C_1 经过单一变换得到 C2C_2。…
  4. 4图中给出了 y=f(∣x∣)y = \mathrm{f}(|x|) 和 y=f′(x)y = \mathrm{f}'(x) 的图像。 y=f(∣x∣)y = \mathrm{f}(|x|) 的图像在 (−3,4)(-3, 4) 和 (3,4)(3, 4) 处有转折点，交 xx 轴于 (−2,0)(-2, 0)…
  5. 5方程为 x2a2+y24a2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{4a^2}=1 的曲线 C1C_1 经以下变换得到曲线 C2C_2：先沿 xx 轴正方向平移 aa 个单位，然后沿平行于 xx 轴的方向以比例因子 22 进行拉伸，最…
  6. 6将方程为 y=f(x)y=f(x) 的曲线先关于 y 轴进行反射，接着沿 x 轴负方向平移 1 个单位，最后在平行于 y 轴的方向上进行拉伸（缩放因子为 2）。所得曲线的方程由 y=g(x)y=g(x) 给出，其中 g(x)=14−x2  ,−2<x<0g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}\;,\quad -2<x<0…
  7. 7图示为曲线 y=f(1−x)y = \text{f}(1-x)。该曲线的极大值点为 (−1,5)(-1, 5)，且有两条渐近线 x=−2x = -2 and y=1y = 1。 在不同的图上，分别画出下列函数的图像草图： y=f(x)y = \text{f}(x)， y=g′(x)y = \text{g}'(x)…
  8. 8曲线 C 的方程为 y=k(x+1)+4x+1y = k(x+1) + \dfrac{4}{x+1}，x∈Rx \in \mathbb{R}，x≠−1x \ne -1，其中 0<k<20 < k < 2 是一个常数。 将曲线 C 的图像进行以下变换：先关于 x 轴对称，然后…
  9. 9下图显示了 y=f(x)y = f(x) 的图像。该曲线在 (0,a)(0,a) 处有一个极值点，且直线 y=±kxy = \pm kx 是该曲线的渐近线，其中 aa 和 kk 是正实常数。 [续] 现在已知 f(x)=a1+x2\mathrm{f}(x) = a\sqrt{1+x^2}…
  10. 10曲线 CC 的方程为 x2−4y2=4x^2 - 4y^2 = 4。 画出 CC 的草图，并写出其渐近线方程以及与坐标轴交点的坐标。 描述一对变换，能将 CC 的图像变换为 (x−2)2−y2=4(x - 2)^2 - y^2 = 4 的图像。
  11. 11曲线 y=f(x)y=f(x) 依次进行以下变换： A：关于 y 轴对称 B：沿 x 轴方向平移 2 个单位 C：沿 y 轴方向平移 −a-a 个单位，其中 a>1a>1 所得曲线的方程为 y=g(x)y=g(x)，其中 g(x)=1−3a−x+5g(x)=\dfrac{1-3a}{-x+5}…
  12. 12函数 f 的定义域为全体实数集，由下式给出： f(x)={4−x2for 0<x≤2,2x−4for 2<x≤4,\text{f}(x) = \begin{cases} 4 - x^2 & \text{for } 0 < x \le 2, \\ 2x - 4 & \text{for } 2 < x \le 4, \end{cases}…
  13. 13第一部分：纯粹数学 [60 分] 曲线 CC 的方程为 y=x2−2x+4x−by = \frac{x^2 - 2x + 4}{x - b}，x≠bx \ne b。 已知 yy 不能取 −2-2 和 66 之间的值，利用代数方法证明 b=2b = 2。 描述…
  14. 14(Q3) [Cambridge/H2 Maths 2007] 证明方程 y=2x+7x+2y = \dfrac{2x + 7}{x + 2} 可以写成 y=A+Bx+2y = A + \dfrac{B}{x + 2} 的形式，其中 AA 和 BB 是待求常数。由…
  15. 15下图显示了 0lex<2a0 \\le x < 2a 时 y=f(x)y = f(x) 的部分图像草图。垂直渐近线 x=2ax = 2a 也是该图像的一条对称轴。 在不同的示意图中，分别画出下列函数的图像草图： (i) 当 0≤x≤4a0 \le x \le 4a 时的…
  16. 16函数 f 定义为 f:x↦11−x2f: x \mapsto \dfrac{1}{1 - x^2}，−1<x≤0-1 < x \le 0。 (i) 定义 f−1f^{-1}。 (ii) 在同一坐标系中画出 y=ff−1(x)y = ff^{-1}(x) 和 y=f−1f(x)y = f^{-1}f(x)…
  17. 17图中显示了 y=f(x)y = f(x) 的图像，其渐近线为 y=ky = k 和 x=0x = 0，且图像与 x 轴相交于 (a,0)(a,0)。 在不同的图上，画出下列函数的图像，并给出所有渐近线的方程以及曲线与 x 轴和 y 轴交点的坐标。 画出 y=1f(x)y = \dfrac{1}{f(x)}…
  18. 18已知 f(x)=x+m2x−2\mathrm{f}(x) = x + \frac{m^2}{x-2}，其中 0<m<10 < m < 1。 画出 y=f(x)y = \mathrm{f}(x) 的图像，清晰地标出极值点的坐标以及所有渐近线的方程。 通过在第 (i) 问的草图…
  19. 19已知 f(x)={12x2,for 1≤x<2,14(−3x+14),for 2≤x<4,f(x) = \begin{cases} \tfrac{1}{2}x^2, & \text{for } 1 \le x < 2, \\ \tfrac{1}{4}(-3x+14), & \text{for } 2 \le x < 4, \end{cases}…
  20. 20曲线 C1C_1 由参数方程定义为 x=2t−1andy=4t+1,t≠±1.x = \frac{2}{t-1} \quad\text{and}\quad y = \frac{4}{t+1},\qquad t \ne \pm 1. 画出 C1C_1 的草图，并进行清晰的标注…
  21. 21要得到函数y=sin⁡2xy=\sin 2x的图象，只需将函数y=sin⁡(2x−π3)y=\sin (2x- \dfrac {π}{3})的图象()() A. 向右平移π6 \dfrac {π}{6}个单位长度 B. 向左平移π6 \dfrac {π}{6}…
  22. 22定义函数 f\text{f} 为 f(x)=x3+ax2+bx+c\text{f}(x) = x^3 + ax^2 + bx + c，其中 aa，bb 和 cc 为常数。y=f(x)y = \text{f}(x) 的图像经过点 (−2,1)(-2, 1) 和 (2,−3)(2, -3)…
  23. 23函数 f\mathrm{f} 定义为 f(x)={4−xfor 1≤x<3,(x−4)2for 3≤x<4,\mathrm{f}(x) = \begin{cases} 4 - x & \text{for } 1 \le x < 3, \\ (x - 4)^2 & \text{for } 3 \le x < 4, \end{cases}…
  24. 24已知 f(x)={4x,0≤x<1(3−x)2,1≤x≤3f(x)=\begin{cases}4x,&0\le x<1\\(3-x)^2,&1\le x\le 3\end{cases} 且 f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x)。已知对于所有实数 xx，f(x)=f(x+6)f(x)=f(x+6) 均成立。…
  25. 25画出方程为 x2−(y+1)2=1x^2 - (y + 1)^2 = 1 的曲线 CC 的草图，清晰地标出与坐标轴的任何交点的坐标以及任何渐近线的方程。 曲线 CC 经历如下一连串的三个变换： I：沿平行于 xx 轴的方向拉伸，比例因子为 4， II：…
  26. 26下图显示了函数 y=f(x)y = f(x) 的图像草图。该图像在 x=1x = 1、y=3y = 3 和 x 轴处有渐近线。该图像在 (−1,−3)(-1,-3) 处有一个驻点，且与坐标轴交于 (0,0)(0,0) 和 (2,0)(2,0)。 在不同的图上分别画出以下函数…
  27. 27描述一个能将 y=exy = e^{x} 的图像映射到 y=−ex+2y = -e^{x} + 2 图像上的包含两个变换的变换序列。 方程为 y=x+6y = x + 6 的直线依次经历以下变换： A：沿平行于 x 轴的方向拉伸（缩放），比例因子为 13\tfrac{1}{3}…
  28. 28[在此问题中，所给图像的草图未按比例绘制] y=∣f(x)∣y = |\mathrm{f}(x)| 和 y2=f(x)y^2 = \mathrm{f}(x) 的图像如下所示。 在不同的图上，分别画出下列函数的图像草图， 写出所有渐近线方程以及与坐标轴交点…
  29. 29曲线 C1C_{1} 和 C2C_{2} 的方程分别为 x29−y24=1\dfrac{x^{2}}{9} - \dfrac{y^{2}}{4} = 1 和 y2+x2=k2y^{2} + x^{2} = k^{2}，其中 kk 为正常数。 在同一坐标系中画出 C1C_{1}…
  30. 30(Q2) [Cambridge/9231/2007] 曲线 C 的方程为 y=ax2+bx+cx+4,y = \frac{ax^2 + bx + c}{x + 4}, 其中 aa，bb 和 cc 是常数。已知 y=2x−5y = 2x - 5 是 C 的一条渐近…
  31. 31已知曲线 CC 的方程为 y=−4x2−6x−112x+2y = \dfrac{-4x^2 - 6x - 11}{2x + 2}，其中 x∈Rx \in \mathbb{R} 且 x≠−1x \ne -1。 不使用计算器，求 yy 不能取的值的集合。 画出 CC 的草…
  32. 32下图显示了 y=f(x)y = \text{f}(x) 的图像。该曲线穿过 xx 轴的点为 (−2,0)(-2, 0) 和 (1,0)(1, 0)，并且有一个最大值点，其坐标为 (2,2)(2, 2)。直线 x=−1x = -1 和 y=1y = 1 是该图像的渐近线。…
  33. 33将抛物线y=x2y=x^{2}向左平移33个单位，再向下平移44个单位，平移后所得新抛物线的表达式为()(\quad) A. y=(x−3)2+4y=(x-3)^{2}+4 B. y=(x+3)2+4y=(x+3)^{2}+4 C. y=(x−3)2−4y=(x-3)^{2}-4…
  34. 34画出 (y+2)2=4(x−1)2−9(y+2)^2 = 4(x-1)^2 - 9 的图像，并展示其主要特征。 由此求 kk 的取值范围，使得方程 9+(y+2)2=4(k2−1)2.9 + (y+2)^2 = 4(k^2 - 1)^2. 没有实数根。 下图显示了 y=h(3−x)y = h(3 - x)…
  35. 35写出将方程为 y2−x2=1y^{2}-x^{2}=1 的曲线变换为方程为 9y2−54y−x2−2x+79=0.9y^{2}-54y - x^{2} - 2x + 79 = 0. 的曲线的一系列变换步骤。 曲线 CC 的方程为 9y2−54y−x2−2x+79=0.9y^{2}-54y - x^{2} - 2x + 79 = 0.…
  36. 36一个温度为 160∘C160^\circ\text{C} 的加热金属块被放置在室温为 30∘C30^\circ\text{C} 的实验室中冷却。金属块被留在实验室 tt 分钟后的温度 TT（单位：∘C^\circ\text{C}）被建模为函数 T(t)T(t)…
  37. 37画出 (y+2)2=4(x−1)2−9(y+2)^2 = 4(x-1)^2 - 9 的图像，并标出其主要特征。 由此求 kk 的取值范围，使得方程 9+(y+2)2=4(k2−1)2.9 + (y+2)^2 = 4(k^2 - 1)^2. 无实根。 下图显示了 y=h(3−x)y = h(3 - x) 的…
  38. 38曲线 CC 依次进行以下变换： AA：沿 yy 轴负方向平移 4 个单位。 BB：沿平行于 xx 轴的方向拉伸至原来的 2 倍。 CC：关于 xx 轴反射。 变换后得到的曲线方程为 y=x24+4y = \frac{x^2}{4} + 4…
  39. 39已知 aa 和 bb 都是正数常数，在同一幅图上，草拟以下函数的图像： y=2∣x−a∣andy=b∣x−a∣.y = \frac{2}{|x - a|} \quad \text{and} \quad y = b|x - a|. 由此或通过其他方法，解不等式 2∣x−a∣>b∣x−a∣\frac{2}{|x - a|} > b|x - a|…
  40. 40求由图象 y=2x2+3y = 2x^2 + 3 和 y=−2x+7y = -2x + 7 围成的区域面积。 若两个图象都沿 yy 轴负方向平移 7 个单位，写出由这两个图象围成的区域面积。 区域 RR 由 y=2x2+3y = 2x^2 + 3、y=−2x+7y = -2x + 7…
  41. 41函数 f(x) 的图像经历了以下变换： 第 1 步：沿 x 轴负方向平移 1 个单位 第 2 步：沿 y 轴正方向平移 5 个单位 第 3 步：平行于 x 轴伸缩，伸缩因子为 12\tfrac{1}{2} 所得图像的函数为 h(x)=4x2+4x+9h(x)=4x^{2}+4x+9…
  42. 42在同一坐标系中，草绘 y=sin⁡2xy = \sin 2x 和 y=cos⁡xy = \cos x 在 0≤x≤π20 \le x \le \frac{\pi}{2} 上的图像，并写出曲线与坐标轴交点的精确坐标。 求不等式 sin⁡2x>cos⁡x\sin 2x > \cos x（其中…
  43. 43方程为 x2a2+y24a2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{4a^2}=1 的曲线 C1C_1 经以下变换得到曲线 C2C_2：先沿 xx 轴正方向平移 aa 个单位，然后沿平行于 xx 轴的方向以比例因子 22 进行拉伸…
  44. 44若将函数y=3x+6沿x轴向右平移3个单位，则所得函数解析式为 ．
  45. 45曲线 RR 的方程为 y=f(x)y=f(x)。坐标为 (7,−9)(7,-9) 的点 PP 在 RR 上。曲线 RR 在点 PP 处的切线斜率为 10。 曲线 CC 是通过对 RR 进行以下两个变换得到的： - 沿平行于 yy 轴的方向以…
  46. 46如果将一次函数y=3x-1的图象沿y轴向上平移5个单位，那么平移后所得图象的函数解析式为___．
  47. 47图中展示了 y=f(∣x∣)y = f(|x|) 和 y=f′(x)y = f'(x) 的图像。 y=f(∣x∣)y = f(|x|) 的图像在 (−3,4)(-3,4) 和 (3,4)(3,4) 处有转折点，与 xx 轴相交于 (−2,0)(-2,0) 和 (2,0)(2,0)，其渐近线方程为 x=−1x = -1…
  48. 48曲线 y=f(x)y = f(x) 的图像在下方给出。 在不同的图表中，画出以下函数的图像： y=1f(x)y = \frac{1}{f(x)} y=f′(x).y = f'(x). 曲线 CC 的参数方程为 x=tx = t, y=2t2y = 2t^2。 描述一系列变换，…
  49. 49图显示了曲线 y=f(x)y = \mathrm{f}(x)。该曲线通过点 A(a,0)A(a,0) 和点 B(b,0)B(b,0)，在 C(c,−1)C(c,-1) 处有一个极值点，渐近线为 y=12y = \frac{1}{2} 和 x=0x = 0。 在不同的图上分别画出以…
  50. 50由 y=ax+1bx−2y = \frac{ax + 1}{bx - 2} 定义的曲线 CC 经过点 (3,13)(3, 13)，且有垂直渐近线 x=2x = 2。 求 aa 和 bb 的值。 描述一个将 y=1xy = \frac{1}{x} 的图像变换为曲线…
  51. 51下图显示了 y=f(x)y = \mathrm{f}(x) 的图象。该图象的渐近线为 x=2x = 2 和 y=2y = 2。图象与 xx 轴交于 (1,0)(1, 0)，与 yy 轴交于 (0,1)(0, 1)，且有一个转折点 (4,1)(4, 1)。 在不同的图…
  52. 52A heated metal block at 160∘160^\circC is left to cool in a laboratory with an ambient temperature of 30∘30^\circC. The te…
  53. 53设f(x)=23sin⁡(π−x)sin⁡x−(sin⁡x−cos⁡x)2f(x)=2 \sqrt{3}\sin (π-x)\sin x-(\sin x-\cos x{)}^{2} ． (I)(I)求f(x)f(x)得单调递增区间； (II)(II)把y=f(x)y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到…
  54. 54上图显示了当 x>0x>0 时，方程为 e2y=x2+ye^{2y} = x^2 + y 的曲线 CC。 复制该图，并在图中画出 x<0x<0 时 CC 的部分。 证明 dydx=2x2e2y−1\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2x}{2e^{2y}-1}。…
  55. 55下图显示了曲线 C1C_1 的图像，其方程为 y=f(x)y = \mathrm{f}(x)，定义域为 x∈R∖{4}x \in \mathbb{R} \setminus \{4\}，渐近线为 x=4x = 4 和 y=−12x+1y = -\frac{1}{2}x + 1…
  56. 56曲线 C1C_1 的参数方程为 x=3sec⁡2θx = 3\sec^2 \theta，y=2tan⁡θy = 2\tan \theta，0≤θ<π20 \le \theta < \frac{\pi}{2}。 L1L_1 和 L2L_2 是曲线 C1C_1 的切线。 画出曲…
  57. 57图中显示了曲线 y=f(x)y = \text{f}(x)。该曲线穿过点 A(−1,0)A(-1, 0)、B(0,2)B(0, 2)、C(1,0)C(1, 0) 和 D(3,−3)D(3, -3)。 在不同的且标记清晰的图上，分别画出下列函数的草图： y=−12f(x)y = -\frac{1}{2}\text{f}(x)…
  58. 58图中显示了曲线 y=f(x)y = f(x)，其极值点为 A(3,2.5)A(3, 2.5) 和 B(0,1)B(0, 1)。直线 y=1y = 1 和 x=−2x = -2 是该曲线的渐近线。 在不同的图上分别画出下列函数的图像，并视情况清晰写出渐近线的方程以及对应于 A…
  59. 59曲线 C1C_1 由参数方程定义：x=2t−1andy=4t+1,t≠±1.x = \frac{2}{t-1}\quad\text{and}\quad y = \frac{4}{t+1},\qquad t \ne \pm 1. 画出 C1C_1 的草图，并清晰地标出图中的关…
  60. 60下图展示了 y=f(x)y = \mathrm{f}(x) 的图像。曲线与坐标轴交于 A(0,1.5)A(0, 1.5) 和 B(−3,0)B(-3, 0)。该曲线的渐近线为 x=−2x = -2 和 y=1y = 1。 在不同的图中，分别画出下列函数的图像，并尽可能清晰地标…