已知圆心为$C$的圆过点$A(0,-6)$和$B(1,-5)$，且圆心在直线$l$：$x-y+1=0$上． (1)求圆心为$C$的圆的标准方程； (2)过点$M(2,8)$作圆的切线，求切线方程．

1. 设出圆的标准方程，并代入已知点和圆心所在直线建立方程组

设所求圆的标准方程为 $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$.
因为圆过点 $A(0,-6)$ 和 $B(1,-5)$，且圆心 $C(a,b)$ 在直线 $x-y+1=0$ 上，
所以可得方程组：
$\begin{cases} (0-a)^{2}+(-6-b)^{2}=r^{2} \quad \text{①} \\ (1-a)^{2}+(-5-b)^{2}=r^{2} \quad \text{②} \\ a-b+1=0 \quad \text{③} \end{cases}$

2. 求解方程组得出圆心坐标和半径

由①、②两式相减消去 $r^2$，得：
$a^2 + (b+6)^2 = (a-1)^2 + (b+5)^2$
展开得：
$a^2 + b^2 + 12b + 36 = a^2 - 2a + 1 + b^2 + 10b + 25$
化简得：
$2a + 2b + 10 = 0 \Rightarrow a + b + 5 = 0 \quad \text{④}$
联立③ $a - b + 1 = 0$ 与④ $a + b + 5 = 0$，解得：
$a = -3, b = -2$
将 $a=-3, b=-2$ 代入①式，得：
$r^2 = (-3)^2 + (-6 - (-2))^2 = 9 + 16 = 25$.

3. 写出圆的标准方程

将 $a = -3, b = -2, r^2 = 25$ 代入标准方程，得圆的标准方程为：
$(x+3)^{2}+(y+2)^{2}=25$.

1. 分析切线斜率存在的情况，写出点斜式切线方程

设切线的斜率为 $k$，由于切线过点 $M(2,8)$，
故其方程可设为 $y-8 = k(x-2)$，即 $kx - y - 2k + 8 = 0$.

2. 利用圆心到切线距离等于半径求出斜率k

圆心 $C(-3,-2)$ 到切线 $kx-y-2k+8=0$ 的距离等于半径 $r=5$：
$d = \frac{|-3k - (-2) - 2k + 8|}{\sqrt{k^2+1}} = 5$
整理得：
$\frac{|10-5k|}{\sqrt{k^2+1}} = 5 \Rightarrow |2-k| = \sqrt{k^2+1}$
两边平方得：
$(2-k)^2 = k^2+1 \Rightarrow 4 - 4k + k^2 = k^2+1 \Rightarrow 4k = 3 \Rightarrow k = \frac{3}{4}$
代入切线方程得：
$\frac{3}{4}x - y - 2\left(\frac{3}{4}\right) + 8 = 0 \Rightarrow 3x - 4y + 26 = 0$.

3. 讨论斜率不存在的特殊情况并得出最终切线方程

当切线斜率不存在时，过点 $M(2,8)$ 的直线方程为 $x=2$.
圆心 $C(-3,-2)$ 到直线 $x=2$ 的距离为 $|-3-2| = 5 = r$，符合切线条件．
综上所述，所求的切线方程为 $3x-4y+26=0$ 或 $x=2$.