已知圆方程$C_{1}$：$f(x,y)=0$，点$P_{1}(x_{1},y_{1})$在圆$C_{1}$上，点$P_{2}(x_{2},y_{2})$不在圆$C_{1}$上，则方程：$f(x,y)-f(x_{1},y_{1})-f(x_{2},y_{2})=0$表示的圆$C_{2}$与圆$C_{1}$的关系是$(\quad)$

A. 与圆$C_{1}$重合

B. 与圆$C_{1}$同心圆

C. 过$P_{1}$且与圆$C_{1}$圆心相同的圆

D. 过$P_{2}$且与圆$C_{1}$圆心相同的圆

1. 利用点在圆上的条件化简方程

因为点 $P_1(x_1, y_1)$ 在圆 $C_1$：$f(x,y)=0$ 上，
所以有 $f(x_1, y_1) = 0$。
将此代入已知方程 $f(x,y) - f(x_1, y_1) - f(x_2, y_2) = 0$，
得到简化后的方程 $f(x,y) - f(x_2, y_2) = 0$，即 $f(x,y) = f(x_2, y_2)$。

2. 判断点 $P_2$ 与新方程表示图形的关系

将点 $P_2(x_2, y_2)$ 代入简化后的方程 $f(x,y) = f(x_2, y_2)$，
得 $f(x_2, y_2) = f(x_2, y_2)$，等式显然恒成立。
这说明点 $P_2(x_2, y_2)$ 必然在方程表示的图形上。

3. 分析圆心的位置，得出最终结论

设圆 $C_1$ 的标准方程为 $(x-a)^2 + (y-b)^2 - R^2 = 0$，其中圆心为 $(a,b)$。
此时 $f(x,y) = (x-a)^2 + (y-b)^2 - R^2$。
代入简化后的方程得：
$(x-a)^2 + (y-b)^2 - R^2 = (x_2-a)^2 + (y_2-b)^2 - R^2$
即 $(x-a)^2 + (y-b)^2 = (x_2-a)^2 + (y_2-b)^2$
由于 $P_2$ 不在圆 $C_1$ 上，所以右侧常数大于 $0$，此方程表示一个圆。
该圆的圆心依然为 $(a,b)$，与圆 $C_1$ 的圆心相同，且过点 $P_2$。
因此，方程表示的圆 $C_2$ 过点 $P_2$ 且与圆 $C_1$ 圆心相同。
故选 D。