已知圆$O$：$x^{2}+y^{2}=4$和圆$C$：$(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=1.$现给出如下结论，其中正确的是$(\quad)$

A. 圆$O$与圆$C$有四条公切线

B. 过$C$且在两坐标轴上截距相等的直线方程为$x+y=5$或$x-y+1=0$

C. 过$C$且与圆$O$相切的直线方程为$9x-16y+30=0$

D. $P$，$Q$分别为圆$O$和圆$C$上的动点，则$|PQ|$的最大值为$\sqrt{13}+3$，最小值为$\sqrt{13}-3$

1. 分析圆 $O$ 与圆 $C$ 的位置关系，判定选项 A 和 D 的正误

由题意可得：
圆 $O$ 的圆心为 $O(0,0)$，半径 $R = 2$；
圆 $C$ 的圆心为 $C(2,3)$，半径 $r = 1$。
两圆圆心距为 $|OC| = \sqrt{(2-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{13}$。
因为 $R + r = 3$，且 $\sqrt{13} > 3$，即 $|OC| > R + r$，所以圆 $O$ 与圆 $C$ 外离。
对于选项 A：两圆外离时，共有 $4$ 条公切线（$2$ 条外公切线，$2$ 条内公切线），故 A 正确；
对于选项 D：圆 $O$ 和圆 $C$ 上的动点 $P, Q$ 之间的距离最大值为 $|OC| + R + r = \sqrt{13} + 3$，最小值为 $|OC| - R - r = \sqrt{13} - 3$，故 D 正确。

2. 求过点 $C$ 且在两坐标轴上截距相等的直线方程，判定选项 B 的正误

过点 $C(2,3)$ 的直线在两坐标轴上的截距相等，分两种情况讨论：
① 若直线过原点 $(0,0)$，其斜率为 $k = \frac{3-0}{2-0} = \frac{3}{2}$，方程为 $y = \frac{3}{2}x$，即 $3x - 2y = 0$，此时横纵截距均为 $0$，相等；
② 若直线不过原点，设直线方程为 $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1$，即 $x + y = a$。
将 $C(2,3)$ 代入得 $2 + 3 = a \implies a = 5$，直线方程为 $x + y = 5$。
综上，所求直线方程为 $x + y = 5$ 或 $3x - 2y = 0$。
选项 B 中的直线 $x - y + 1 = 0$ 在两轴上的截距分别为 $-1$ 和 $1$（互为相反数，不相等），故 B 错误。

3. 求过点 $C$ 且与圆 $O$ 相切的直线方程，判定选项 C 的正误

过点 $C(2,3)$ 且与圆 $O$ 相切的直线：
① 若直线的斜率存在，设为 $k$，则切线方程为 $y - 3 = k(x - 2)$，即 $kx - y + 3 - 2k = 0$。
圆心 $O(0,0)$ 到该直线的距离等于半径 $R = 2$，即：
$\frac{|3 - 2k|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 2$
两边平方解得 $(3 - 2k)^2 = 4(k^2 + 1) \implies 9 - 12k + 4k^2 = 4k^2 + 4 \implies k = \frac{5}{12}$。
代入得切线方程为 $5x - 12y + 26 = 0$。
② 若直线的斜率不存在，直线方程为 $x = 2$，圆心 $O(0,0)$ 到该直线的距离为 $2 = R$，也是圆 $O$ 的切线。
因此，过点 $C$ 且与圆 $O$ 相切的直线方程为 $5x - 12y + 26 = 0$ 或 $x = 2$。
选项 C 给出的方程为 $9x - 16y + 30 = 0$，故 C 错误。