圆$x^{2}+y^{2}-2x-5=0$和圆$x^{2}+y^{2}+2x-4y-4=0$的交点为$A$、$B$，则线段$AB$的垂直平分线方程为$(\quad)$

A. $x+y-1=0\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:$

B. $2x-y+1=0$

C. $x-2y+1=0\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:$

D. $x-y+1=0$

1. 求出两圆的圆心坐标

将第一个圆的方程 $x^2+y^2-2x-5=0$ 配方，得：
$(x-1)^2+y^2=6$
其圆心坐标为 $O_1(1, 0)$。

将第二个圆的方程 $x^2+y^2+2x-4y-4=0$ 配方，得：
$(x+1)^2+(y-2)^2=9$
其圆心坐标为 $O_2(-1, 2)$。

2. 确定线段 $AB$ 的垂直平分线与圆心连线的几何关系

根据圆的对称性质，相交两圆的连心线（即过两圆圆心的直线 $O_1O_2$）垂直平分公共弦 $AB$。
因此，求线段 $AB$ 的垂直平分线方程，即求过圆心 $O_1(1, 0)$ 和 $O_2(-1, 2)$ 的直线方程。

3. 求解两圆圆心连线的直线方程并得出结论

直线 $O_1O_2$ 经过点 $O_1(1, 0)$ 和 $O_2(-1, 2)$，其斜率为：
$k = \frac{2 - 0}{-1 - 1} = -1$
利用直线的点斜式方程得：
$y - 0 = -1 \cdot (x - 1)$
整理为一般式方程：
$x + y - 1 = 0$
由此可知线段 $AB$ 的垂直平分线方程为 $x + y - 1 = 0$。
故正确选项为 A。