已知点$(a+1,a-1)$在圆$x^{2}+y^{2}-2ay-4=0$外，则实数$a$的取值范围为$(\quad)$

A. $a< 1$

B. $a>1$

C. $0< a< 1$

D. $a>\dfrac{1}{5}$

1. 求出圆的圆心坐标和半径

将圆的方程 $x^2 + y^2 - 2ay - 4 = 0$ 配方，化为标准方程：
$x^2 + (y - a)^2 = a^2 + 4$
由此可得，圆心为 $C(0, a)$，半径 $r = \sqrt{a^2 + 4}$。

2. 根据点在圆外建立不等式

因为点 $P(a+1, a-1)$ 在圆外，所以点 $P$ 到圆心 $C$ 的距离 $d$ 大于半径 $r$，即 $d > r$。
根据两点间距离公式，得：
$\sqrt{(a+1 - 0)^2 + (a-1 - a)^2} > \sqrt{a^2 + 4}$
化简得：
$\sqrt{(a+1)^2 + 1} > \sqrt{a^2 + 4}$

3. 求解不等式确定 $a$ 的取值范围

将不等式两边平方，得：
$(a+1)^2 + 1 > a^2 + 4$
展开并整理得：
$a^2 + 2a + 2 > a^2 + 4$
$2a > 2$
解得：
$a > 1$
所以实数 $a$ 的取值范围是 $a > 1$。
结合选项，应选 B。