求圆 $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$ 的圆心坐标和半径。

1. 通过配方法将圆的一般方程整理为标准方程

将方程中的 $x$ 项和 $y$ 项分别分组并移项：
$(x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) = 12$
分别对 $x$ 和 $y$ 的二次三项式进行配方：
$(x - 2)^2 - 4 + (y + 3)^2 - 9 = 12$
$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$

2. 从标准方程中确定圆心坐标和半径

对比圆的标准方程 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$：
可得圆心坐标 $(a, b) = (2, -3)$，
半径 $r = \sqrt{25} = 5$。