$\triangle ABC$的边$BC$在平面$α$内，$A$在$α$内的射影是$A_{1}$，设$\triangle ABC$的面积为$2$，平面$ABC$和平面$α$所成的二面角的大小为$45°$，则$\triangle A_{1}BC$的面积是___.

1. 理解射影面积公式并建立面积之间的关系

因为 $\triangle ABC$ 的边 $BC$ 在平面 $\alpha$ 内，且 $A$ 在平面 $\alpha$ 内的射影是 $A_1$，
所以 $\triangle A_1BC$ 是 $\triangle ABC$ 在平面 $\alpha$ 内的射影。
设平面 $ABC$ 与平面 $\alpha$ 所成二面角为 $\theta$，根据面积射影定理可得：
$S_{\triangle A_1BC} = S_{\triangle ABC} \cdot \cos \theta$

2. 代入已知数值计算投影三角形的面积

已知 $S_{\triangle ABC} = 2$，二面角 $\theta = 45^\circ$，
将数值代入公式得：
$S_{\triangle A_1BC} = 2 \cdot \cos 45^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$
因此，$\triangle A_1BC$ 的面积是 $\sqrt{2}$。