若tan⁡α=2\tan α=2，tan⁡(β−α)=3\tan (β-α)=3，则tan⁡(β−2α)\tan (β-2α)的值为()()
A. 17 \dfrac {1}{7}
B. −17- \dfrac {1}{7}
C. 19 \dfrac {1}{9}
D. −19- \dfrac {1}{9}

三角恒等式
先不看答案，让 AI 诊断你卡在哪里？

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完整解法

1. 将待求角进行拆分与组合，用已知角表示

由题意，观察待求角 β−2α\beta - 2\alpha 与已知角 α\alpha、β−α\beta - \alpha 的关系，可以进行如下变形：
β−2α=(β−α)−α\beta - 2\alpha = (\beta - \alpha) - \alpha

2. 应用两角差的正切公式展开

利用两角差的正切公式：
tan⁡(β−2α)=tan⁡[(β−α)−α]=tan⁡(β−α)−tan⁡α1+tan⁡(β−α)tan⁡α\tan(\beta - 2\alpha) = \tan[(\beta - \alpha) - \alpha] = \frac{\tan(\beta - \alpha) - \tan\alpha}{1 + \tan(\beta - \alpha)\tan\alpha}

3. 代入已知数值计算得到最终结果

将 tan⁡α=2\tan\alpha = 2 和 tan⁡(β−α)=3\tan(\beta - \alpha) = 3 代入上式中：
tan⁡(β−2α)=3−21+3×2=17\tan(\beta - 2\alpha) = \frac{3 - 2}{1 + 3 \times 2} = \frac{1}{7}
故选 A。

答案

A

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