1. 确定角 $2x - \frac{\pi}{4}$ 的范围,并求出其余弦值
因为 0<x<2π,所以 0<2x<π,从而可得 −4π<2x−4π<43π。
又因为 sin(2x−4π)=−102<0,
所以 −4π<2x−4π<0,因此 cos(2x−4π)>0。
根据同角三角函数的基本关系,有:
cos(2x−4π)=1−sin2(2x−4π)=1−(−102)2=1−1002=1072
2. 利用两角和的正弦公式求出 $\sin 2x$ 的值
因为 2x=(2x−4π)+4π,
所以由两角和的正弦公式可得:
sin2x=sin[(2x−4π)+4π]=sin(2x−4π)cos4π+cos(2x−4π)sin4π
代入已知数值,得:
sin2x=(−102)⋅22+1072⋅22=−202+2014=2012=53
3. 求出 $\sin x + \cos x$ 的值
因为 (sinx+cosx)2=sin2x+cos2x+2sinxcosx=1+sin2x,
将 sin2x=53 代入,得:
(sinx+cosx)2=1+53=58
由于 0<x<2π,则 sinx>0,cosx>0,所以 sinx+cosx>0。
因此,
sinx+cosx=58=522=5210
答案5210