已知0<x<π20 < x < \dfrac {π}{2},且sin⁡(2x−π4)=−210\sin (2x- \dfrac {π}{4})=- \dfrac { \sqrt {2}}{10},则sin⁡x+cos⁡x=\sin x+\cos x= ___ .

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完整解法

1. 确定角 $2x - \frac{\pi}{4}$ 的范围,并求出其余弦值

因为 0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2},所以 0<2x<π0 < 2x < \pi,从而可得 −π4<2x−π4<3π4-\frac{\pi}{4} < 2x - \frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{4}。
又因为 sin⁡(2x−π4)=−210<0\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{10} < 0,
所以 −π4<2x−π4<0-\frac{\pi}{4} < 2x - \frac{\pi}{4} < 0,因此 cos⁡(2x−π4)>0\cos\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) > 0。
根据同角三角函数的基本关系,有:
cos⁡(2x−π4)=1−sin⁡2(2x−π4)=1−(−210)2=1−2100=7210\cos\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{1 - \sin^2\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)} = \sqrt{1 - \left(-\frac{\sqrt{2}}{10}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{2}{100}} = \frac{7\sqrt{2}}{10}

2. 利用两角和的正弦公式求出 $\sin 2x$ 的值

因为 2x=(2x−π4)+π42x = \left(2x - \frac{\pi}{4}\right) + \frac{\pi}{4},
所以由两角和的正弦公式可得:
sin⁡2x=sin⁡[(2x−π4)+π4]=sin⁡(2x−π4)cos⁡π4+cos⁡(2x−π4)sin⁡π4\sin 2x = \sin\left[\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) + \frac{\pi}{4}\right] = \sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)\cos\frac{\pi}{4} + \cos\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)\sin\frac{\pi}{4}
代入已知数值,得:
sin⁡2x=(−210)⋅22+7210⋅22=−220+1420=1220=35\sin 2x = \left(-\frac{\sqrt{2}}{10}\right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{7\sqrt{2}}{10} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{2}{20} + \frac{14}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}

3. 求出 $\sin x + \cos x$ 的值

因为 (sin⁡x+cos⁡x)2=sin⁡2x+cos⁡2x+2sin⁡xcos⁡x=1+sin⁡2x(\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x\cos x = 1 + \sin 2x,
将 sin⁡2x=35\sin 2x = \frac{3}{5} 代入,得:
(sin⁡x+cos⁡x)2=1+35=85(\sin x + \cos x)^2 = 1 + \frac{3}{5} = \frac{8}{5}
由于 0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2},则 sin⁡x>0\sin x > 0,cos⁡x>0\cos x > 0,所以 sin⁡x+cos⁡x>0\sin x + \cos x > 0。
因此,
sin⁡x+cos⁡x=85=225=2105\sin x + \cos x = \sqrt{\frac{8}{5}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{10}}{5}

答案

2105\frac{2\sqrt{10}}{5}

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