已知$\sin\theta{+}\cos\theta{=}\dfrac{1}{5}{,}\theta{∈}(0{,}\pi)$． (1)求$\tan\theta$的值； (2)求$\dfrac{1-2\sin \theta \cos \theta }{{{\cos }^{2}}\theta -{{\sin }^{2}}\theta }$的值．

1. 通过平方已知等式求出 $\sin\theta\cos\theta$ 的值

已知 $\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{1}{5}$，两边平方得：
$(\sin\theta + \cos\theta)^2 = \dfrac{1}{25}$
展开整理得：
$1 + 2\sin\theta\cos\theta = \dfrac{1}{25}$
解得：
$\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{12}{25}$

2. 结合角 $\theta$ 的范围确定 $\sin\theta$ 与 $\cos\theta$ 的符号关系，并求出 $\sin\theta - \cos\theta$ 的值

因为 $\theta \in (0, \pi)$，所以 $\sin\theta > 0$。
又因为 $\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{12}{25} < 0$，所以 $\cos\theta < 0$。
由此可得 $\sin\theta - \cos\theta > 0$。
因为：
$(\sin\theta - \cos\theta)^2 = 1 - 2\sin\theta\cos\theta = 1 - \left(-\dfrac{24}{25}\right) = \dfrac{49}{25}$
所以：
$\sin\theta - \cos\theta = \dfrac{7}{5}$

3. 联立方程组求得 $\sin\theta$ 和 $\cos\theta$，并求出 $\tan\theta$ 的值

联立方程组：
$\begin{cases} \sin\theta + \cos\theta = \dfrac{1}{5} \\ \sin\theta - \cos\theta = \dfrac{7}{5} \end{cases}$
解得：
$\sin\theta = \dfrac{4}{5}, \quad \cos\theta = -\dfrac{3}{5}$
因此：
$\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = -\dfrac{4}{3}$

1. 化简目标式中的分子与分母

目标式为 $\dfrac{1-2\sin \theta \cos \theta }{{{\cos }^{2}}\theta -{{\sin }^{2}}\theta }$。
利用完全平方公式与平方差公式进行因式分解：
$1 - 2\sin\theta\cos\theta = (\cos\theta - \sin\theta)^2$
$\cos^2\theta - \sin^2\theta = (\cos\theta - \sin\theta)(\cos\theta + \sin\theta)$
代入目标式可得：
$\dfrac{1-2\sin \theta \cos \theta }{{{\cos }^{2}}\theta -{{\sin }^{2}}\theta } = \dfrac{(\cos\theta - \sin\theta)^2}{(\cos\theta - \sin\theta)(\cos\theta + \sin\theta)} = \dfrac{\cos\theta - \sin\theta}{\cos\theta + \sin\theta}$

2. 将化简后的式子转化为含 $\tan\theta$ 的表达式

将分子和分母同除以 $\cos\theta$，得：
$\dfrac{\cos\theta - \sin\theta}{\cos\theta + \sin\theta} = \dfrac{1 - \tan\theta}{1 + \tan\theta}$

3. 代入 $\tan\theta$ 的值计算出最终结果

由第 (1) 问可知 $\tan\theta = -\dfrac{4}{3}$，代入上式得：
$\dfrac{1 - \left(-\dfrac{4}{3}\right)}{1 + \left(-\dfrac{4}{3}\right)} = \dfrac{\dfrac{7}{3}}{-\dfrac{1}{3}} = -7$