已知函数$f(x)=\tan(x+\dfrac{\pi}{4}).(1)$求函数$f(x)$的最小正周期与定义域$;(2)$设$\beta$是锐角，且$f(\beta)=2\sin(\beta+\dfrac{\pi}{4})$，求$\beta$的值.

1. 求函数 $f(x)$ 的最小正周期

由函数 $f(x) = \tan\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)$，利用正切函数的周期公式，得该函数的最小正周期为：
$T = \pi$

2. 求函数 $f(x)$ 的定义域

要使正切函数 $f(x) = \tan\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)$ 有意义，其自变量需要满足：
$x + \dfrac{\pi}{4} \neq k\pi + \dfrac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$
移项化简得：
$x \neq k\pi + \dfrac{\pi}{4}, k \in \mathbb{Z}$
所以函数 $f(x)$ 的定义域为 $\{x|x \neq k\pi + \dfrac{\pi}{4}, k \in \mathbb{Z}\}$。

1. 建立关于 $\beta$ 的三角方程并化简

根据已知条件 $f(\beta) = 2\sin\left(\beta + \dfrac{\pi}{4}\right)$，代入 $f(x)$ 表达式中，得：
$\tan\left(\beta + \dfrac{\pi}{4}\right) = 2\sin\left(\beta + \dfrac{\pi}{4}\right)$
利用正切的商关系式，化为：
$\dfrac{\sin\left(\beta + \dfrac{\pi}{4}\right)}{\cos\left(\beta + \dfrac{\pi}{4}\right)} = 2\sin\left(\beta + \dfrac{\pi}{4}\right) \quad ①$

2. 根据 $\beta$ 的范围对式子两边进行约简

因为 $\beta$ 是锐角，所以 $0 < \beta < \dfrac{\pi}{2}$，从而有：
$\dfrac{\pi}{4} < \beta + \dfrac{\pi}{4} < \dfrac{3\pi}{4}$
在此范围内，$\sin\left(\beta + \dfrac{\pi}{4}\right) > 0$，所以等式 ① 两边同除以 $\sin\left(\beta + \dfrac{\pi}{4}\right)$ 成立，化简得：
$\cos\left(\beta + \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{1}{2}$

3. 求解出具体的角 $\beta$ 值

由于 $\dfrac{\pi}{4} < \beta + \dfrac{\pi}{4} < \dfrac{3\pi}{4}$ 且 $\cos\left(\beta + \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{1}{2}$，由特殊角三角函数值，可得：
$\beta + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{3}$
解得：
$\beta = \dfrac{\pi}{12}$