设向量$\overrightarrow{a}=(4\cos α,\sin α)$，$\overrightarrow{b}=(\sin β,4\cos β)$，$\overrightarrow{c}=(\cos β,-4\sin β)(1)$若$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}-2 \overrightarrow{c}$垂直，求$\tan (α+β)$的值； (2)若$\tan α\tan β=16$，求证：$\overrightarrow{a}/\!/ \overrightarrow{b}$．

1. 计算向量 $\vec{b}-2\vec{c}$ 的坐标

由题意，$\vec{b} = (\sin \beta, 4\cos \beta)$，$\vec{c} = (\cos \beta, -4\sin \beta)$，
则 $\vec{b}-2\vec{c} = (\sin \beta - 2\cos \beta, 4\cos \beta + 8\sin \beta)$。

2. 由垂直条件建立三角方程

因为 $\vec{a} \perp (\vec{b}-2\vec{c})$，所以 $\vec{a} \cdot (\vec{b}-2\vec{c}) = 0$。
已知 $\vec{a} = (4\cos \alpha, \sin \alpha)$，代入坐标得：
$4\cos \alpha(\sin \beta - 2\cos \beta) + \sin \alpha(4\cos \beta + 8\sin \beta) = 0$
展开并整理得：
$4(\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta) - 8(\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta) = 0$

3. 化简三角方程求出 $\tan(\alpha+\beta)$ 的值

套用两角和的正弦与余弦公式，原式可化为：
$4\sin(\alpha+\beta) - 8\cos(\alpha+\beta) = 0$
即 $\sin(\alpha+\beta) = 2\cos(\alpha+\beta)$。
若 $\cos(\alpha+\beta) = 0$，则 $\sin(\alpha+\beta) = 0$，与 $\sin^2(\alpha+\beta)+\cos^2(\alpha+\beta)=1$ 矛盾，故 $\cos(\alpha+\beta) \neq 0$。
两边同除以 $\cos(\alpha+\beta)$ 得：
$\tan(\alpha+\beta) = 2$

1. 明确向量平行的坐标充要条件

要证 $\vec{a} // \vec{b}$，其中 $\vec{a} = (4\cos \alpha, \sin \alpha)$，$\vec{b} = (\sin \beta, 4\cos \beta)$，
只需证明：
$4\cos \alpha \cdot 4\cos \beta - \sin \alpha \cdot \sin \beta = 0$
即证 $16\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = 0$。

2. 由条件 $\tan \alpha \tan \beta = 16$ 推导等式并完成证明

已知 $\tan \alpha \tan \beta = 16$，根据正切定义，有：
$\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = 16$
解得 $\sin \alpha \sin \beta = 16\cos \alpha \cos \beta$。
移项得 $16\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = 0$。
因此 $\vec{a} // \vec{b}$ 得证。