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Basic relations among trigonometric functions of the same angle

Understand the basic same-angle identities sin^2 x + cos^2 x = 1 and sin x / cos x = tan x.

Practice questions

  1. 1在ΔABC\Delta ABC中，∠B=300,AC=25,D\angle B={{30}^{0}},AC=2\sqrt{5},D是ABAB边上的一点，CD=2CD=2，若∠ACD\angle ACD为锐角， ΔACD\Delta ACD的面积为44…
  2. 2已知sin⁡θ+cos⁡θ=15,θ∈(0,π)\sin\theta{+}\cos\theta{=}\dfrac{1}{5}{,}\theta{∈}(0{,}\pi)． (1)求tan⁡θ\tan\theta的值； (2)求1−2sin⁡θcos⁡θcos⁡2θ−sin⁡2θ\dfrac{1-2\sin \theta \cos \theta }{{{\cos }^{2}}\theta -{{\sin }^{2}}\theta }…
  3. 3已知αα是△ABC\triangle ABC的一个内角，tan⁡α=34\tan α= \dfrac {3}{4}，则cos⁡(α+π4)\cos (α+ \dfrac {π}{4} )等于(    )(\:\:\:\:) A. 7210 \dfrac {7 \sqrt {2}}{10}…
  4. 4已知0<α<π2<β<π0 < α < \dfrac{π}{2} < β < π ，a→=(cos⁡α,3)b→=(−4,sin⁡α)\overset{→}{a}=(\cos α,3) \overset{→}{b}=(-4,\sin α)，且a→⊥b→\overset{→}{a}⊥ \overset{→}{b}…
  5. 5在△ABC\triangle ABC中，设边aa，bb，cc所对的角为AA，BB，CC，且AA，BB，CC都不是直角，(bc−8)cos⁡A+accos⁡B=a2−b2(bc-8)\cos A+ac\cos B=a^{2}-b^{2}…
  6. 6已知函数f(x)=sin⁡ωx+3cos⁡ωxf(x)=\sin ωx+ \sqrt {3}\cos ωx的最小正周期为ππ，x∈Rx∈R，ω>0ω > 0是常数． (1)求ωω的值； (2)若f(θ2+π12)=65f( \dfrac {θ}{2}+ \dfrac {π}{12})= \dfrac {6}{5}…
  7. 7已知不等式a+3b⩽∣x2−1∣a+ \sqrt{3}b\leqslant \left|{x}^{2}-1\right| 对于满足条件a2+b2=1{a}^{2}+{b}^{2}=1 的任意实数aa，bb恒成立，实数xx的取值范围是 ．
  8. 8已知锐角αα，ββ满足：cos⁡α=13\cos α= \dfrac {1}{3}，cos⁡(α+β)=−13\cos (α+β)=- \dfrac {1}{3}，则cos⁡(α−β)=()\cos (α-β)=() A. −12- \dfrac {1}{2} B.…
  9. 9已知αα是第二象限的角，且sin⁡(π+α)=−35\sin (π+α)=- \dfrac {3}{5}，则tan⁡2α\tan 2α的值为 ___ ．
  10. 10(1)若π2<α<π \dfrac{π}{2} < α < π，sin⁡α=45\sin α= \dfrac{4}{5} ，求sin⁡(2π−α)tan⁡(π+α)cos⁡(−π+α)sin⁡(π2−α)cos⁡(π2+α)\dfrac{\sin (2π-α)\tan (π+α)\cos (-π+α)}{\sin ( \dfrac{π}{2}-α)\cos ( \dfrac{π}{2}+α)}…
  11. 11已知sinα+cosα＞1，则α是第 象限角．
  12. 12在ΔABC\Delta ABC中，a=2,cos⁡B=35.(1)a=2,\cos B=\dfrac{3}{5}.(1)若b=4b=4，求sin⁡A\sin A。 (2)若SΔABC=4{{S}_{\Delta ABC}}=4，求bb。
  13. 13已知a < 0,a\text{ < }0,函数f(x)=acos⁡x+1+sin⁡x+1−sin⁡xf\left(x\right)=a\cos x+\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}，其中x∈[−π2,π2].(1)x{\in}\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right].(1)…
  14. 14已知θ∈(π2,  π)θ∈( \dfrac {π}{2},\;π)，且sin⁡θ=35\sin θ= \dfrac {3}{5}． ((Ⅰ)tan⁡θ=)\tan θ= ___ ； ((Ⅱ))求cos⁡(θ+π3)\cos (θ+ \dfrac {π}{3})…
  15. 15把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线： (1){x=5cos⁡φ,y=4sin⁡φ(φ(1)\begin{cases} x=5\cos φ, \\ y=4\sin φ \end{cases}(φ为参数))； (2){x=1−3t,y=4t(t(2)\begin{cases} x=1-3t, \\ y=4t \end{cases}(t…
  16. 16在△ABC\triangle ABC中，三内角AA，BB，CC的对边分别为aa，bb，cc，面积为SS，若S+a2=(b+c)2S+a^{2}=(b+c)^{2}，则cos⁡A\cos A等于 ___ ．
  17. 17已知△ABC\triangle ABC的三边aa，bb，cc和面积SS满足S=a2−(b−c)2S=a^{2}-(b-c)^{2}，且b+c=8b+c=8． (1)求cos⁡A\cos A； (2)求SS的最大值．
  18. 18已知sin⁡(α−π)+cos⁡(π−α)sin⁡(π2−α)+cos⁡(π2+α)=5\dfrac{\sin(α-π)+\cos(π-α)}{\sin(\dfrac{π}{2}-α)+\cos(\dfrac{π}{2}+α)}=5，则tan⁡α\tan α等于()(\quad) A. −2-2 B. 22…
  19. 19已知向量a→=(3,4) \overrightarrow{a}=(3,4)，b→=(sin⁡α,cos⁡α) \overrightarrow{b}=(\sin α,\cos α)，若a→/ ⁣/b→ \overrightarrow{a}/\!/ \overrightarrow{b}…
  20. 20设复数zz的共轭复数为z‾\overline{z}，且满足2z+z‾=3+i2z+\overline{z}=3+i，ω=sin⁡θ−icos⁡θ\omega=\sin\theta-i\cos\theta，复数z−ωz-\omega对应复平面的向量OM→.(1)\overrightarrow{OM}.(1)…
  21. 21在△ABC\triangle ABC中，SS为△ABC\triangle ABC的面积，且S=12(b2+c2−a2)S= \dfrac {1}{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})，则tan⁡B+tan⁡C−2tan⁡Btan⁡C=()\tan B+\tan C-2\tan B\tan C=()…
  22. 22观察下列等式 ①sin⁡30∘=12cos⁡60∘=12②sin⁡45∘=22cos⁡45∘=22③sin⁡60∘=32cos⁡30∘=32…①\sin 30^{\circ}= \dfrac {1}{2}\cos 60^{\circ}= \dfrac {1}{2}②\sin 45^{\circ}= \dfrac { \sqrt {2}}{2}\cos 45^{\circ}= \dfrac { \sqrt {2}}{2}③\sin 60^{\circ}= \dfrac { \sqrt {3}}{2}\cos 30^{\circ}= \dfrac { \sqrt {3}}{2}……
  23. 23在△ABC\triangle ABC中，已知三个内角为AA，BB，CC满足sin⁡A\sin A：sin⁡B\sin B：sin⁡C=6\sin C=6：55：44，则sin⁡B=()\sin B=() A. 74 \dfrac { \sqrt {7}}{4}…
  24. 24在锐角△ABC\triangle ABC中，角AA，BB，CC所对的边分别为aa，bb，cc，已知a=bcos⁡C+33csin⁡Ba=b\cos C+ \dfrac { \sqrt {3}}{3}c\sin B． (1)若a=2a=2…
  25. 25已知a=1.60.8a=1.6^{0.8}，b=log⁡310b=\log_{3}10，c=sin⁡1−cos⁡1c=\sin 1-\cos 1，则aa，bb，cc的大小关系是()(\quad) A. a>b>ca>b>c B. c>b>ac>b>a C.…
  26. 26在平面直角坐标系xOyxOy中，以原点OO为极点，xx轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1{{C}_{1}}的方程为x22+y2=1\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+{{y}^{2}}=1，曲线C2{{C}_{2}}…
  27. 27已知函数f(x)=sin⁡(2x+φ)+b(0<φ<π)f(x)=\sin(2x+φ)+b(0< φ< π)有两个相邻的零点π12\dfrac{π}{12}和3π4\dfrac{3π}{4}，则b=()b=(\quad) A. 11 B. 32\dfrac{\sqrt{3}}{2}…
  28. 28若tan⁡θ=−2\tan θ=-2，则sin⁡θcos⁡2θsin⁡θ−cos⁡θ=()\dfrac{\sin θ\cos 2θ}{\sin\theta-\cos\theta}=(\quad) A. −65-\dfrac{6}{5} B. −25-\dfrac{2}{5} C. 25\dfrac{2}{5}…
  29. 29证明： (1)2sin⁡(π+α)cos⁡(π−α)=sin⁡2α;       (2)(sin⁡x+cos⁡x)2=1+sin⁡2x;(3)1+2cos⁡2θ−cos⁡2θ=2;                   (4)1−cos⁡2αsin⁡α=2sin⁡α;(5)1−cos⁡2A1+cos⁡2A=tan⁡2A;                     (6)1−sin⁡80∘=cos⁡40∘−sin⁡40∘.(1)2\sin(\pi+\alpha)\cos(\pi-\alpha)=\sin 2\alpha;\:\:\:\:\:\:\:(2){\left(\sin x+\cos x\right)}^{2}=1+\sin 2x;(3)1+2\cos^{2}\theta-\cos 2\theta=2;\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:(4)\dfrac{1-\cos 2\alpha}{\sin\alpha}=2\sin\alpha;(5)\dfrac{1-\cos 2A}{1+\cos 2A}=\tan^{2}A;\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:(6)\sqrt{1-\sin 80^{\circ}}=\cos 40^{\circ}-\sin 40^{\circ}.…
  30. 30已知函数f(x)=sin⁡x(x∈[0,π])f(x)=\sin x(x∈[0,π])和函数g(x)=13tan⁡xg(x)= \dfrac {1}{3}\tan x的图象相交于AA，BB，CC三点，则△ABC\triangle ABC的面积为 ___ ．
  31. 31在△ABC\triangle ABC中，c=2ac=2a，B=120∘B=120^{\circ}，且△ABC\triangle ABC面积为32 \dfrac { \sqrt {3}}{2}． (1)求bb的值； (2)求tan⁡A\tan A…
  32. 32设向量a→=(4cos⁡α,sin⁡α) \overrightarrow{a}=(4\cos α,\sin α)，b→=(sin⁡β,4cos⁡β) \overrightarrow{b}=(\sin β,4\cos β)，c→=(cos⁡β,−4sin⁡β)(1) \overrightarrow{c}=(\cos β,-4\sin β)(1)…
  33. 33若α∈(0°,180°)α\in(0°,180°)，且cos⁡  (α+20°)cos⁡  20°+sin⁡  (α+20°)sin⁡  20°=35\cos\;(α+20°)\cos\;20°+\sin\;(α+20°)\sin\;20°=\dfrac{3}{5}，则tan⁡α=()\tan α=(\quad) A. 43\dfrac{4}{3}…
  34. 34设复平面上点对应的复数z=x+yi(x∈R,y∈R)(iz=x+yi(x∈R,y∈R)(i为虚数单位))满足∣z+2∣+∣z−2∣=6|z+2|+|z-2|=6，点ZZ的轨迹方程为曲线C1.C_{1}.双曲线C2C_{2}：x2−y2n=1x^{2}- \dfrac {y^{2}}{n}=1…
  35. 35设f(x)=23sin⁡(π−x)sin⁡x−(sin⁡x−cos⁡x)2f(x)=2 \sqrt{3}\sin (π-x)\sin x-(\sin x-\cos x{)}^{2} ． (I)(I)求f(x)f(x)得单调递增区间； (II)(II)把y=f(x)y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到…
  36. 36已知0<x<π20 < x < \dfrac {π}{2}，且sin⁡(2x−π4)=−210\sin (2x- \dfrac {π}{4})=- \dfrac { \sqrt {2}}{10}，则sin⁡x+cos⁡x=\sin x+\cos x= ___ ．
  37. 37在ΔABC\Delta ABC中，角AA，BB，CC所对的边分别为aa，bb，cc，若a=7a=7，b=5b=5，c=8c=8，则ΔABC\Delta ABC的面积SS等于 A. 10           10\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: …
  38. 38若α{ \rm{ α } }为锐角，且cos(α+π12)=35cos\left ( { { \rm{ α } }+\frac { { \rm{ π } } } { 12 } } \right )=\frac { 3 } { 5 }，则cos(α+π3)=cos\left ( { { \rm{ α } }+\frac { { \rm{ π } } } { 3 } } \right )=…
  39. 39在区间[−π2,π2][- \dfrac{π}{2}, \dfrac{π}{2}] 上随机取一个数xx，cos⁡x\cos x的值介于00到12\dfrac{1}{2}之间的概率为( )． A. 13\dfrac{1}{3}…
  40. 40若α∈(0,π2)\alpha \in \left( 0,\dfrac{\pi }{2} \right)，且cos⁡2α=255sin⁡(α+π4)\cos 2\alpha =\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\sin \left( \alpha +\dfrac{\pi }{4} \right)…
  41. 41已知sin⁡α+cos⁡α=−13\sin\alpha+\cos\alpha=-\dfrac{1}{3}，0<α<π0< \alpha < \pi，则sin⁡α−cos⁡α=\sin\alpha-\cos\alpha= A. 173\dfrac{\sqrt{17}}{3} B.…
  42. 42曲线y=2x+ln⁡xy=2x+\ln x在x=1x=1处的切线的倾斜角为αα，则cos⁡α+sin⁡α\cos α+\sin α的值为( ) A. 1010\dfrac{ \sqrt{10}}{10} B. 105\dfrac{ \sqrt{10}}{5}…
  43. 43已知1+tan⁡(θ+720∘)1−tan⁡(θ−360∘)=3+22 \dfrac{1+\tan (θ+720^{\circ})}{1-\tan (θ-360^{\circ})}=3+2 \sqrt{2}，求：[cos⁡2(π−θ)+sin⁡(π+θ)⋅cos⁡(π−θ)+2sin⁡2(θ−π)]⋅1cos⁡2(−θ−2π)[\cos ^{2}(π- θ)+\sin (π+θ)·\cos (π-θ)+2\sin ^{2}(θ-π)]· \dfrac{1}{\cos ^{2}(-θ-2π)}…
  44. 44△ABC\triangle ABC中，sin⁡Acos⁡A+sin⁡Bcos⁡B=2sin⁡Ccos⁡A \dfrac {\sin A}{\cos A}+ \dfrac {\sin B}{\cos B}= \sqrt {2} \dfrac {\sin C}{\cos A}． (1)求角BB的…
  45. 45已知sin⁡(π3+α)=33(π3<α<π2)\sin(\dfrac{π}{3}+α)=\dfrac{\sqrt[]{3}}{3}(\dfrac{π}{3}< α< \dfrac {π}{2})，则sin⁡(π6−α)=\sin(\dfrac{π}{6}-α)= ___ .
  46. 46已知αα，ββ都是锐角，且tan⁡αtan⁡β=1+1cos⁡β\tan α\tan β=1+\dfrac{1}{\cos\beta}，则()(\quad) A. 2α=β+π2α=β+π B. 2α=π−β2α=π-β C. 3α=π+β3α=π+β D. 3α=π−β3α=π-β…
  47. 47已知函数f(x)=tan⁡(x+π4).(1)f(x)=\tan(x+\dfrac{\pi}{4}).(1)求函数f(x)f(x)的最小正周期与定义域;(2);(2)设β\beta是锐角，且f(β)=2sin⁡(β+π4)f(\beta)=2\sin(\beta+\dfrac{\pi}{4})…
  48. 48已知sin⁡(π−α)−cos⁡(π+α)=23(π2<α<π)\sin (π-α)-\cos (π+α)= \dfrac { \sqrt {2}}{3}( \dfrac {π}{2} < α < π)． 求：(1)sin⁡α−cos⁡α(1)\sin α-\cos α； (2)tan⁡α+1tan⁡α(2)\tan α+ \dfrac {1}{\tan α}…
  49. 49已知ΔABC\Delta ABC的面积S=a2−(b2+c2)S={{a}^{2}}-({{b}^{2}}+{{c}^{2}})，则cos⁡A\cos A等于()() A. −4-4 B. 1717\dfrac{\sqrt{17}}{17} C. ±1717\pm \dfrac{\sqrt{17}}{17}…
  50. 50在锐角三角形ABC{A} {B} {C}中，tan⁡A=12\tan {A} =\dfrac{1}{2}，D{D}为边BC{B} {C}上的点，ΔABD\Delta {A} {B} {D}与ΔACD\Delta {A} {CD}的面积分…
  51. 51已知角α∈(−π2,0)α∈(- \dfrac {π}{2},0)，cos⁡α=45\cos α= \dfrac {4}{5}，则tan⁡2α=\tan 2α= ___ ．
  52. 52化简1+2sin⁡(π+3)sin⁡(3π2+3)\sqrt{1\text{+}2\sin(\pi\text{+}3)\sin(\dfrac{3\pi}{2}\text{+}3)}等于()(\quad) A. cos⁡3−sin⁡3              \cos 3-\sin 3\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: …
  53. 53在△ABC\triangle ABC中，aa，bb，cc分别是角AA，BB，CC的对边，已知3b−2ac=2cos⁡A−3cos⁡Bcos⁡C \dfrac {3b-2a}{c} = \dfrac {2\cos A-3\cos B}{\cos C}…