证明： $(1)2\sin(\pi+\alpha)\cos(\pi-\alpha)=\sin 2\alpha;\:\:\:\:\:\:\:(2){\left(\sin x+\cos x\right)}^{2}=1+\sin 2x;(3)1+2\cos^{2}\theta-\cos 2\theta=2;\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:(4)\dfrac{1-\cos 2\alpha}{\sin\alpha}=2\sin\alpha;(5)\dfrac{1-\cos 2A}{1+\cos 2A}=\tan^{2}A;\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:(6)\sqrt{1-\sin 80^{\circ}}=\cos 40^{\circ}-\sin 40^{\circ}.$

1. 应用诱导公式化简左边的三角函数

根据诱导公式，有：
$\sin(\pi+\alpha) = -\sin\alpha$
$\cos(\pi-\alpha) = -\cos\alpha$

2. 代入左边并利用二倍角公式推出右边

将化简结果代入左边：
$\text{左边} = 2(-\sin\alpha)(-\cos\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$
根据正弦的二倍角公式， $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin 2\alpha$，
故 $\text{左边} = \text{右边}$，命题得证。

1. 展开左边的完全平方式

展开左边表达式：
$\text{左边} = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x\cos x + \cos^2 x$

2. 利用同角基本关系和二倍角公式化简

因为 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$，且 $2\sin x\cos x = \sin 2x$，代入得：
$\text{左边} = (\sin^2 x + \cos^2 x) + 2\sin x\cos x = 1 + \sin 2x = \text{右边}$
命题得证。

1. 代入余弦二倍角公式化简左边

根据余弦二倍角公式，$\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1$。
代入左边得：
$\text{左边} = 1 + 2\cos^2\theta - (2\cos^2\theta - 1)$

2. 去括号并合并同类项

$\text{左边} = 1 + 2\cos^2\theta - 2\cos^2\theta + 1 = 2 = \text{右边}$
命题得证。

1. 利用二倍角公式化简分子

因为 $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$，所以分子 $1 - \cos 2\alpha = 2\sin^2\alpha$。

2. 代入左边并约分得到右边

将分子代入左边得：
$\text{左边} = \frac{2\sin^2\alpha}{\sin\alpha} = 2\sin\alpha = \text{右边}$
命题得证。

1. 利用二倍角变形公式化简分子与分母

由余弦二倍角公式，有：
$1 - \cos 2A = 2\sin^2 A$
$1 + \cos 2A = 2\cos^2 A$

2. 代入分式并结合正切定义得出右边

代入左边表达式得：
$\text{左边} = \frac{2\sin^2 A}{2\cos^2 A} = \frac{\sin^2 A}{\cos^2 A} = \left(\frac{\sin A}{\cos A}\right)^2 = \tan^2 A = \text{右边}$
命题得证。

1. 将根号内部化简为完全平方式

利用 $1 = \cos^2 40^\circ + \sin^2 40^\circ$ 以及二倍角公式 $\sin 80^\circ = 2\sin 40^\circ\cos 40^\circ$，可得：
$1 - \sin 80^\circ = \cos^2 40^\circ - 2\cos 40^\circ\sin 40^\circ + \sin^2 40^\circ = (\cos 40^\circ - \sin 40^\circ)^2$

2. 开平方并根据三角函数值的大小关系去绝对值

代入左边得：
$\text{左边} = \sqrt{(\cos 40^\circ - \sin 40^\circ)^2} = |\cos 40^\circ - \sin 40^\circ|$
因为 $0^\circ < 40^\circ < 45^\circ$，在该范围内余弦值大于正弦值，即 $\cos 40^\circ > \sin 40^\circ$，
所以 $\cos 40^\circ - \sin 40^\circ > 0$。
因此：
$\text{左边} = \cos 40^\circ - \sin 40^\circ = \text{右边}$
命题得证。