已知角α∈(−π2,0)α∈(- \dfrac {π}{2},0)，cos⁡α=45\cos α= \dfrac {4}{5}，则tan⁡2α=\tan 2α= ___ ．

三角恒等式同角三角函数的基本关系式
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完整解法

1. 确定$\sin \alpha$的值

因为 α∈(−π2,0)\alpha \in \left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)，所以在该区间内正弦值为负数，即 sin⁡α<0\sin \alpha < 0。
根据同角三角函数的基本关系 sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1，得：
sin⁡α=−1−cos⁡2α=−1−(45)2=−35\sin \alpha = -\sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = -\sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = -\frac{3}{5}

2. 求得$\tan \alpha$的值

根据商数关系 tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}，代入已求得的值：
tan⁡α=−3545=−34\tan \alpha = \frac{-\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}

3. 利用二倍角公式计算$\tan 2\alpha$的值

由二倍角的正切公式 tan⁡2α=2tan⁡α1−tan⁡2α\tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}，代入 tan⁡α=−34\tan \alpha = -\frac{3}{4}：
tan⁡2α=2×(−34)1−(−34)2=−321−916=−32716=−247\tan 2\alpha = \frac{2 \times \left(-\frac{3}{4}\right)}{1 - \left(-\frac{3}{4}\right)^2} = \frac{-\frac{3}{2}}{1 - \frac{9}{16}} = \frac{-\frac{3}{2}}{\frac{7}{16}} = -\frac{24}{7}

答案

-\frac{24}{7}

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