已知$α$，$β$都是锐角，且$\tan α\tan β=1+\dfrac{1}{\cos\beta}$，则$(\quad)$

A. $2α=β+π$

B. $2α=π-β$

C. $3α=π+β$

D. $3α=π-β$

1. 利用同角三角函数关系，将切化为弦并化简方程

已知 $\alpha, \beta$ 均为锐角，且 $\tan \alpha \tan \beta = 1 + \dfrac{1}{\cos \beta}$。
将正切化为正弦与余弦之比：
$\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = 1 + \frac{1}{\cos \beta}$
因为 $\beta$ 是锐角，所以 $\cos \beta \neq 0$，两边同乘以 $\cos \beta$ 得：
$\frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha} = \cos \beta + 1$
再两边同乘以 $\cos \alpha$ 得：
$\sin \alpha \sin \beta = \cos \alpha \cos \beta + \cos \alpha$

2. 套用两角和的余弦公式，将式子变形为只含有余弦的等式

整理上式，移项得：
$\sin \alpha \sin \beta - \cos \alpha \cos \beta = \cos \alpha$
即：
$-(\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta) = \cos \alpha$
根据两角和的余弦公式 $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$，上式可化简为：
$\cos(\alpha + \beta) = -\cos \alpha$

3. 结合角的范围求解，确定 $\alpha$ 和 $\beta$ 的关系式

根据诱导公式，$-\cos \alpha = \cos(\pi - \alpha)$，所以：
$\cos(\alpha + \beta) = \cos(\pi - \alpha)$
因为 $\alpha, \beta$ 都是锐角，所以 $\alpha \in (0, \frac{\pi}{2})$，$\beta \in (0, \frac{\pi}{2})$。
由此可得：
$\alpha + \beta \in (0, \pi), \quad \pi - \alpha \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$
在区间 $(0, \pi)$ 上，余弦函数 $y = \cos x$ 是单调递减函数，因此由 $\cos(\alpha + \beta) = \cos(\pi - \alpha)$ 可直接得出：
$\alpha + \beta = \pi - \alpha$
移项整理得：
$2\alpha = \pi - \beta$
故选 B。