设复数$z$的共轭复数为$\overline{z}$，且满足$2z+\overline{z}=3+i$，$\omega=\sin\theta-i\cos\theta$，复数$z-\omega$对应复平面的向量$\overrightarrow{OM}.(1)$求$z$； (2)求$\left[-1,2\right]$的取值范围.

1. 设出复数 $z$ 的代数形式并表示其共轭复数

设 $z = a + bi$ ($a, b \in \mathbb{R}$)，则其共轭复数为 $\overline{z} = a - bi$.

2. 将 $z$ 和 $\overline{z}$ 代入方程并化简

代入已知方程 $2z + \overline{z} = 3 + i$，得：
$2(a + bi) + (a - bi) = 3 + i$
化简左边得：
$3a + bi = 3 + i$

3. 根据复数相等的条件求出 $a$ 和 $b$ 的值并写出 $z$

根据复数相等的充要条件（实部与虚部分别相等），可得方程组：
$\begin{cases} 3a = 3 \\ b = 1 \end{cases}$
解得 $a = 1$，$b = 1$.
因此，$z = 1 + i$.

1. 复用第(1)问结果表示出复数 $z - \omega$

由第(1)问知 $z = 1 + i$.
已知 $\omega = \sin\theta - i\cos\theta$，则：
$z - \omega = (1 - \sin\theta) + (1 + \cos\theta)i$

2. 写出向量模平方的表达式并展开化简

因为复数 $z - \omega$ 对应复平面的向量 $\overrightarrow{OM}$，所以 $|\overrightarrow{OM}|^2$ 等于复数 $z - \omega$ 模的平方：
$|\overrightarrow{OM}|^2 = (1 - \sin\theta)^2 + (1 + \cos\theta)^2$
展开得：
$|\overrightarrow{OM}|^2 = 1 - 2\sin\theta + \sin^2\theta + 1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta$

3. 应用同角三角函数关系和辅助角公式进行化简

利用 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$，上式可化简为：
$|\overrightarrow{OM}|^2 = 3 - 2(\sin\theta - \cos\theta)$
引入辅助角公式，由于 $\sin\theta - \cos\theta = \sqrt{2}\sin\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right)$，因此：
$|\overrightarrow{OM}|^2 = 3 - 2\sqrt{2}\sin\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right)$

4. 根据正弦函数的有界性求出取值范围

因为 $\theta \in \mathbb{R}$，所以 $-1 \leqslant \sin\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right) \leqslant 1$.
因此，$-2\sqrt{2} \leqslant -2\sqrt{2}\sin\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right) \leqslant 2\sqrt{2}$.
两边同时加上 $3$ 得：
$3 - 2\sqrt{2} \leqslant 3 - 2\sqrt{2}\sin\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right) \leqslant 3 + 2\sqrt{2}$
所以，$|\overrightarrow{OM}|^2$ 的取值范围为 $[3 - 2\sqrt{2}, 3 + 2\sqrt{2}]$.