已知$i$为虚数单位，则$\dfrac{i}{1+i}$的虚部等于$()$

A. $\dfrac{1}{2}i$

B. $\dfrac{1}{2}$

C. $\dfrac{1}{4}$

D. $-\dfrac{1}{4}i$

1. 对分式进行分母实数化

$\frac{i}{1+i} = \frac{i(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{i - i^2}{1 - i^2}$

2. 化简为复数的代数形式并确定虚部

因为 $i^2 = -1$，所以：
$\frac{i - i^2}{1 - i^2} = \frac{i - (-1)}{1 - (-1)} = \frac{1+i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$
根据复数的代数表示，该复数的虚部为 $\frac{1}{2}$。
故选 B。