数学知识点English

复数的四则运算

复数的四则运算：代数形式下复数的加、减、乘、除法。

这个知识点的练习题

  1. 1解方程 z4=−4−4√3iz^4 = -4 - 4√3\mathrm{i}，将你的答案表示为 reiθr\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} 的形式，其中 r>0r > 0 且 −π<θ≤π-\pi < \theta \le \pi。（不需要列出…
  2. 2已知复数z1=1−3iz_{1}=1-3i，z2=3+iz_{2}=3+i，则()(\quad) A. ∣z1+z2∣=6  |z_{1}+z_{2}|=6\:\: B. z‾1−z2=−2+2i{\overline{z}}_{1}-{z}_{2}=-2+2i C. z1z2=6−8iz_{1}z_{2}=6-8i …
  3. 3解方程 iz5=−32i z^5 = -32，将根写成 reiθre^{i\theta} 的形式，其中 r>0r>0 且 −π<θ≤π-\pi<\theta\le\pi。在阿甘特图上描绘出代表这些根的点 P1,P2,P3,P4P_1, P_2, P_3, P_4 和 P5P_5，其…
  4. 4已知 z=2−iz = 2 - \text{i} 是方程 4z4−12z3+17z2+pz+q=04z^4 - 12z^3 + 17z^2 + pz + q = 0 的一个根，其中 pp 和 qq 是实数，求 pp 和 qq 的值。 利用所求得的 pp 和 qq 的值，…
  5. 5证明对于任何复数 z=eiθz = e^{i\theta}， zn+1zn=2cos⁡nθ.z^{n} + \dfrac{1}{z^{n}} = 2\cos n\theta . 通过令 n=1n = 1，证明 cos⁡3θ=18(z3+3z+3z+1z3).\cos^{3}\theta = \tfrac{1}{8}\left(z^{3} + 3z + \tfrac{3}{z} + \tfrac{1}{z^{3}}\right).…
  6. 6已知复数z=x+yi(x,y∈R)z=x+yi(x,y\in R)，则()(\quad) A. z2⩾0z^{2}\geqslant 0 B. zz的虚部是yiyi C. 若z=1+2iz=1+2i，则x=1x=1，y=2y=2 D. ∣z∣=x2+y2|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}…
  7. 7已知a∈Ra∈R，若1+ai2+i \dfrac {1+ai}{2+i}为实数，则a=a= ___ ．
  8. 8解方程 z4=−4−43 iz^{4} = -4 - 4\sqrt{3}\,i，将答案表示为 reiθre^{i\theta} 的形式，其中 r>0r > 0 且 −π<θ≤π-\pi < \theta \le \pi。（不需要具体列出所有的根。） 由此解方程 w4=−1+3 iw^{4} = -1 + \sqrt{3}\,i…
  9. 9方程 2z4−14z3+33z2−26z+p=0, where p is a constant2z^4 - 14z^3 + 33z^2 - 26z + p = 0\text{, where } p \text{ is a constant} 的一个根是 3+i3 + \mathrm{i}。 仅根据上述信息，一名学生声称该…
  10. 10已知A(1 , 2)A(1\:,\:2)，B(a ,1)B(a\:,1)，C(2 , 3)C(2\:,\:3)，D(−1,b)(D(-1,b)(其中aa，b∈R)b\in R)是复平面上的四点，且向量AB→,CD→,\overset{\rightarrow}{{AB}}{,}{\overset{\rightarrow}{{CD}}{,}}…
  11. 11已知ii为虚数单位，则i1+i\dfrac{i}{1+i}的虚部等于()() A. 12i\dfrac{1}{2}i B. 12\dfrac{1}{2} C. 14\dfrac{1}{4} D. −14i-\dfrac{1}{4}i…
  12. 12复数 zz 满足方程 f(z)=0\mathrm{f}(z) = 0，其中 f(z)=(1−ai)z2−2iz−10−20i\mathrm{f}(z) = (1 - a\mathrm{i})z^2 - 2\mathrm{i}z - 10 - 20\mathrm{i} 且 aa 是一个…
  13. 13回答本题时请勿使用计算器。 已知 x=1+3ix = 1 + 3\mathrm{i} 是方程 x3+ax2+18x+b=0x^3 + ax^2 + 18x + b = 0 的一个根，求实数 aa 和 bb 的值以及其余的根。 复数 zz 和 ww 满足…
  14. 14方程 2z4−14z3+33z2−26z+p=0，其中 p 是常数2z^{4} - 14z^{3} + 33z^{2} - 26z + p = 0\text{，其中 } p \text{ 是常数} 的一个根为 3+i3 + \mathrm{i}。 仅根据上述信息，一名学生声称该方程有一个根为…
  15. 15求表示复数 z 的点 P 的轨迹的笛卡尔方程的最简形式，其中 ∣z+3∣=2 ℜ(z)|z+3|=2\,\Re(z)。在阿甘特图上画出该轨迹。 写出复数 ww 的模和辐角，其中 w=−2+(23) iw=-2+(2\sqrt{3})\,i。已知 wnw^{n} 是实数，求正整…
  16. 16若z=1+2iz=1+2i，则∣z2∣=()|z^{2}|=(\quad) A. 5+4i5+4i B. −3+4i-3+4i C. 2525 D. 55
  17. 17设复数zz满足(1−i)z=1+i(1-i)z=1+i，则∣z∣=()|z|=() A. 00 B. 11 C. 2 \sqrt {2} D. 22
  18. 18已知i{i}为虚数单位，复数z=(a−i)2z={{\left( a-{i} \right)}^{2}}，a∈Ra\in \mathrm{R}，若复数zz是纯虚数，则∣z∣=\left| z \right|= A. 11 B.…
  19. 19在复平面内，复数z=13+iz= \dfrac {1}{3+i}对应的点位于()() A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
  20. 20解答本题时请勿使用计算器。 已知三个复数为 z1=1+iz_1 = 1 + i，z2=3−iz_2 = \sqrt{3} - i 和 z3=cos⁡π3+isin⁡π3z_3 = \cos \dfrac{\pi}{3} + i\sin \dfrac{\pi}{3}。 求 z1z2z3\dfrac{z_1 z_2}{z_3}…
  21. 21设z=1−i1+i+2iz=\dfrac{1-{i}}{1+{i}}+2{i}，则∣z∣=|z|= A. 00 B. 12\dfrac{1}{2} C. 11 D. 2\sqrt{2}
  22. 22方程 z3−2z+k=0z^{3}-2z+k=0（其中 kk 是实常数）有一个根为 z=1+aiz = 1 + ai，其中 aa 是正实常数。 推导出另一个用 aa 表示的根。 求出 aa 和 kk 的值，写出计算过程。 由此求在 Argand 图（阿…
  23. 23解答本题时请勿使用计算器。 已知复数 z1z_1 和 z2z_2 是方程 z2−6z+36=0z^2 - 6z + 36 = 0 的根，且满足 arg⁡(z1)>arg⁡(z2)\arg(z_1) > \arg(z_2)。求 z1z_1 和 z2z_2 的精确表达式，表示为 reiθre^{i\theta}…
  24. 24在同一个阿根特图上，画出由 −π4<arg⁡(z+1+2i)≤π4-\frac{\pi}{4} < \arg(z + 1 + 2\text{i}) \le \frac{\pi}{4} 和 ∣(2+i)w+5∣≤5|(2 + \text{i})w + 5| \le \sqrt{5} 所确定的轨迹…
  25. 25设复数z=1+2iz=1+ \sqrt {2}i，则z2−2zz^{2}-2z等于()() A. 3i3 i B. −3i-3 i C. 33 D. −3-3
  26. 26复数 zz 的模为 2，辐角为 π8\frac{\pi}{8}。已知 w=1+iw = 1 + \mathrm{i}。 已知 nn 是一个整数，求用 nn 表示的 znw∗\frac{z^n}{w^*}，答案以 reiθr\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}…
  27. 27解方程 iz5=−32iz^5=-32，求出其根并表示为 reiθre^{i\theta} 的形式，其中 r>0r>0 且 −π<θ≤π-\pi<\theta\le\pi。在阿甘图上描绘出代表这些根的点 P1,P2,P3,P4P_1, P_2, P_3, P_4 和 P5P_5，其…
  28. 28已知复数 z=3+4iz = 3 + 4i，求 ∣z∣|z|、zˉ\bar{z} 和 z2z^2。
  29. 29设a，b，c∈R，则复数（a+bi）（c+di）为实数的充要条件是（ ） A. ad-bc=0 B. ac-bd=0 C. ac+bd=0 D. ad+bc=0
  30. 30复数 zz 满足方程 2 z3=1+22a−1 i,\sqrt{2}\,z^{3} = 1 + \dfrac{2}{2a - 1}\,i , 其中 aa 是实数。 已知 arg⁡(z3)=−π4\arg\bigl(z^{3}\bigr) = -\dfrac{\pi}{4}。 证…
  31. 31求使表达式 2−isin⁡2α1+2isin⁡2α\dfrac{2 - i\sin 2\alpha}{1 + 2i\sin 2\alpha} 为纯实数的 α\alpha 的取值集合。 如果 zz and ww 是不同的非零复数，且 ∣w∣=1|w| = 1，求 ∣3(w−z)1−z‾w∣\left|\dfrac{3(w - z)}{1 - \overline{z}w}\right|…
  32. 32回答本题时不得使用计算器。 已知 α=−3+i\alpha = -\sqrt{3} + \mathrm{i} 且 β=cos⁡π3+isin⁡π3\beta = \cos\frac{\pi}{3} + \mathrm{i}\sin\frac{\pi}{3}。 求 α5β∗\frac{\alpha^5}{\beta^*}…
  33. 33已知 z1=−i2z_1 = -\frac{\text{i}}{2} 是方程 2z3+(i−8)z2+az+13i=02z^3 + (\text{i}-8)z^2 + az + 13\text{i} = 0 的一个根，求复数 aa 并解该方程，给出笛卡尔形式 x+iyx + \text{i}y…
  34. 34设ii为虚数单位，则复数i−2i \dfrac {i-2}{i}的共轭复数是 ___ ．
  35. 35回答本题时不得使用计算器。 写出你的解答过程，求满足联立方程组的复数 zz 和 ww： 2iz+w=5+7i,(4−i)w∗=z−3i.\begin{aligned} 2\text{i}z + w &= 5 + 7\text{i}, \\ (4 - \text{i})w^* &= z - 3\text{i}. \end{aligned}…
  36. 36已知zz是复数，若z+2iz+2i为实数(i(i为虚数单位))，且z−4z-4为纯虚数． (1)求复数zz； (2)若复数(z+mi)2(z+mi)^{2}在复平面上对应的点在第四象限，求实数mm的取值范围．
  37. 37已知z−\overset{-}{z}是复数zz的共轭复数，若z+2z−z+2\overset{-}{z}在复平面上的对应点位于第一象限，则zz的对应点位于()(\quad) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限…
  38. 38复数 zz 随 tt 变化，满足 z=2cos⁡t+i(3sin⁡t),where 0≤t<2π.z = 2\cos t + \mathrm{i}(3\sin t), \quad \text{where } 0 \le t < 2\pi. 令 x=Re(z)x = \mathrm{Re}(z) 且 y=Im(z)y = \mathrm{Im}(z)…
  39. 39设复数i−21+i=a+bi(a,b∈R) \dfrac {i-2}{1+i}=a+bi(a,b∈R) 则a+b=()a+b=() A. 11 B. 22 C. −1-1 D. −2-2
  40. 40若复数a+ib−i=2−i \dfrac {a+i}{b-i}=2-i其中aa，bb是实数，则复数a+bia+bi在复平面内所对应的点位于()() A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
  41. 41解方程 z5+16=163 iz^5 + 16 = 16\sqrt{3}\, i，将根表示为 reiθr e^{i\theta} 的形式，其中 r>0r>0 且 −π<θ≤π-\pi < \theta \le \pi。在阿根特图上表示这些根。 点 AA 和 BB 表示…
  42. 42复数 aa 和 bb 由 a=−(1+3i)a = -(1 + \sqrt{3}\text{i}) and b=12(1−i)b = \frac{1}{2}(1 - \text{i}) 给出。 不使用计算器，求出形如 x+iyx + \text{i}y 的 a2ba^2b…
  43. 43解答本题时请勿使用图形计算器。 复数 ww 是方程 z4+az3+46z2+bz+125=0,z^4 + a z^3 + 46 z^2 + b z + 125 = 0 , 的一个根，其中 a,b∈Ra,b \in \mathbb{R}。 证明因式 z−wz - w 与 z−w∗z - w^*…
  44. 44已知 z1=r1(cos⁡θ1+isin⁡θ1)z_1 = r_1(\cos\theta_1 + \mathrm{i}\sin\theta_1) 且 z2=r2(cos⁡θ2+isin⁡θ2)z_2 = r_2(\cos\theta_2 + \mathrm{i}\sin\theta_2)，利用三角函数方法证明 z1z2=r1r2[cos⁡(θ1−θ2)+isin⁡(θ1−θ2)]\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1 - \theta_2) + \mathrm{i}\sin(\theta_1 - \theta_2)]…
  45. 45设复数zz的共轭复数为z‾\overline{z}，且满足2z+z‾=3+i2z+\overline{z}=3+i，ω=sin⁡θ−icos⁡θ\omega=\sin\theta-i\cos\theta，复数z−ωz-\omega对应复平面的向量OM→.(1)\overrightarrow{OM}.(1)…
  46. 46若复数zz满足(2−i)z=4+3i(i(2-i)z=4+3i(i为虚数单位))，则∣z∣=|z|=
  47. 47证明 eiθ1−eiθ\frac{\text{e}^{\text{i}\theta}}{1 - \text{e}^{\text{i}\theta}} 可以表示为 k(icot⁡θ2−1)k\left(\text{i}\cot\frac{\theta}{2} - 1\right)…
  48. 48已知 z=λ−4i1−λiz = \frac{\lambda - 4i}{1 - \lambda i}，其中 λ∈R\lambda \in \mathbb{R} 且 arg⁡(z)=π\arg(z) = \pi，求 zz 的值。 解答本题时请勿使用计算器。 复数 zz…
  49. 49回答本题时请勿使用计算器。 复数 zz 的模为 1，辐角为 θ\theta，其中 π2<θ<π\dfrac{\pi}{2}<\theta<\pi，复数 ww 由 w=i3 zw = i\sqrt{3}\,z 给出。阿尔甘图（复平面）上的点 PP 表…
  50. 50解方程 z5+32=0z^{5}+32=0，将你的答案表示为 reiθre^{i\theta} 的形式，其中 r>0r>0 且 −π<θ≤π-\pi<\theta\le\pi。 z1z_{1}，z2z_{2} 和 z3z_{3} 是 z5+32=0z^{5}+32=0 的三…
  51. 51若ii为虚数单位，则(3−6i)(1+9i)=()(3-6i)(1+9i)=(\quad) A. 51+33i51+33i B. 51−33i51-33i C. 57+21i57+21i D. 57−21i57-21i
  52. 52设复数 zz 为 −1+i3-1+i\sqrt{3}。求： arg⁡(z)\arg(z)， 实数 aa，使得 arg⁡(z(z+a))=5π6\arg\big(z(z+a)\big)=\frac{5\pi}{6}。 解方程 iz3=3−3ii z^{3}=3-3i，将你的答案写成 reiθre^{i\theta}…
  53. 53已知ii是虚数单位，则(1−i1+i)3=()(\dfrac{1-i}{1+i})^{3}=(\quad) A. 11 B. ii C. −i-i D. −1-1
  54. 54ii为虚数单位，5i−2=()\dfrac{5}{i-2}=(\quad) A. i+2i\text{+}2 B. i-2i\text{-}2 C. -2-i\text{-}2\text{-}i D. 2-i2\text{-}i
  55. 55等差数列的首项为 aa，公差为 dd，其中 a>0a > 0 且 d≠0d \ne 0。 该等差数列的第一、第六和第九项是某等比数列的连续三项。 证明 25d=−2a25d = -2a。 等差数列的前 nn 项和记为 SS。求满足 SS 大于…
  56. 56下列四个选项中，正确的为()(\quad) A. 复平面内实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数 B. 已知复数z=x+yi(x,y∈R)z=x+yi(x,y\in R)，且∣z−2∣=3|z-2|=\sqrt{3}，则yx\dfrac{y}{x}的…
  57. 57点 P 和 Q 分别由复数 p 和 q 表示，其中 p=2+2i , arg⁡(q)=23π and ∣q∣=2.p=\sqrt{2}+\sqrt{2}i\,,\ \arg(q)=\dfrac{2}{3}\pi\text{ and }|q|=2. 求 ∣p∣|p| 和 arg⁡(p)\arg(p) 的精确值。…
  58. 58(1+i)(2−i)=()(1+i)(2-i)=() A. −3−i-3-i B. −3+i-3+i C. 3−i3-i D. 3+i3+i
  59. 59已知ii是虚数单位，复数z=1+2iz=1+2i，则iz‾=()i \overline {z}=() A. 2−i2-i B. 2+i2+i C. −2−i-2-i D. −2+i-2+i
  60. 60已知复数z1=2+ai(a∈R)z_{1}=2+ai(a∈R)，z2=1−2iz_{2}=1-2i，若z1z2 \dfrac {z_{1}}{z_{2}}为纯虚数，则∣z1∣=()|z_{1}|=() A. 2 \sqrt {2} B. 3 \sqrt {3}…