已知复数 $z = 3 + 4i$ ，求 $|z|$ 、 $\bar{z}$ 和 $z^2$ 。

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完整解法

1. 求复数 $z$ 的模 $|z|$ 和共轭复数 $\bar{z}$

由复数 $z = 3 + 4i$ ，可得：
$|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
$\bar{z} = 3 - 4i$

2. 计算复数的平方 $z^2$

利用完全平方公式及 $i^2 = -1$ 计算 $z^2$ ：
$z^2 = (3 + 4i)^2 = 3^2 + 2 \times 3 \times 4i + (4i)^2 = 9 + 24i - 16 = -7 + 24i$

答案

$|z| = 5$ ， $\bar{z} = 3 - 4i$ ， $z^2 = -7 + 24i$

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