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复数的模辐角与共轭

复数的模、辐角和共轭复数。

这个知识点的练习题

  1. 1解方程 z4=−4−4√3iz^4 = -4 - 4√3\mathrm{i}，将你的答案表示为 reiθr\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} 的形式，其中 r>0r > 0 且 −π<θ≤π-\pi < \theta \le \pi。（不需要列出…
  2. 2已知复数z1=1−3iz_{1}=1-3i，z2=3+iz_{2}=3+i，则()(\quad) A. ∣z1+z2∣=6  |z_{1}+z_{2}|=6\:\: B. z‾1−z2=−2+2i{\overline{z}}_{1}-{z}_{2}=-2+2i C. z1z2=6−8iz_{1}z_{2}=6-8i …
  3. 3解方程 iz5=−32i z^5 = -32，将根写成 reiθre^{i\theta} 的形式，其中 r>0r>0 且 −π<θ≤π-\pi<\theta\le\pi。在阿甘特图上描绘出代表这些根的点 P1,P2,P3,P4P_1, P_2, P_3, P_4 和 P5P_5，其…
  4. 4证明对于任何复数 z=eiθz = e^{i\theta}， zn+1zn=2cos⁡nθ.z^{n} + \dfrac{1}{z^{n}} = 2\cos n\theta . 通过令 n=1n = 1，证明 cos⁡3θ=18(z3+3z+3z+1z3).\cos^{3}\theta = \tfrac{1}{8}\left(z^{3} + 3z + \tfrac{3}{z} + \tfrac{1}{z^{3}}\right).…
  5. 5已知复数z=x+yi(x,y∈R)z=x+yi(x,y\in R)，则()(\quad) A. z2⩾0z^{2}\geqslant 0 B. zz的虚部是yiyi C. 若z=1+2iz=1+2i，则x=1x=1，y=2y=2 D. ∣z∣=x2+y2|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}…
  6. 6解方程 z4=−4−43 iz^{4} = -4 - 4\sqrt{3}\,i，将答案表示为 reiθre^{i\theta} 的形式，其中 r>0r > 0 且 −π<θ≤π-\pi < \theta \le \pi。（不需要具体列出所有的根。） 由此解方程 w4=−1+3 iw^{4} = -1 + \sqrt{3}\,i…
  7. 7[剑桥/H2 数学 2007] 复数 ww 满足 ww∗+2w=3+4iww^* + 2w = 3 + 4i，其中 w∗w^* 是 ww 的共轭复数。求 ww，并表示为 a+iba + ib 的形式，其中 aa 和 bb 为实数。
  8. 8回答本题时请勿使用计算器。 已知 x=1+3ix = 1 + 3\mathrm{i} 是方程 x3+ax2+18x+b=0x^3 + ax^2 + 18x + b = 0 的一个根，求实数 aa 和 bb 的值以及其余的根。 复数 zz 和 ww 满足…
  9. 9求表示复数 z 的点 P 的轨迹的笛卡尔方程的最简形式，其中 ∣z+3∣=2 ℜ(z)|z+3|=2\,\Re(z)。在阿甘特图上画出该轨迹。 写出复数 ww 的模和辐角，其中 w=−2+(23) iw=-2+(2\sqrt{3})\,i。已知 wnw^{n} 是实数，求正整…
  10. 10若z=1+2iz=1+2i，则∣z2∣=()|z^{2}|=(\quad) A. 5+4i5+4i B. −3+4i-3+4i C. 2525 D. 55
  11. 11设复数zz满足(1−i)z=1+i(1-i)z=1+i，则∣z∣=()|z|=() A. 00 B. 11 C. 2 \sqrt {2} D. 22
  12. 12解答本题时请勿使用计算器。 已知三个复数为 z1=1+iz_1 = 1 + i，z2=3−iz_2 = \sqrt{3} - i 和 z3=cos⁡π3+isin⁡π3z_3 = \cos \dfrac{\pi}{3} + i\sin \dfrac{\pi}{3}。 求 z1z2z3\dfrac{z_1 z_2}{z_3}…
  13. 13设z=1−i1+i+2iz=\dfrac{1-{i}}{1+{i}}+2{i}，则∣z∣=|z|= A. 00 B. 12\dfrac{1}{2} C. 11 D. 2\sqrt{2}
  14. 14复数 zz 满足 arg⁡(z−1−2i)=θ\arg(z-1-2i)=\theta，其中 θ\theta 是区间 −π<θ≤π-\pi < \theta \le \pi 内的一个固定角。 给出代表 zz 的点 PP 的轨迹的几何描述。 已知 θ=π6\theta = \frac{\pi}{6}…
  15. 15解答本题时请勿使用计算器。 已知复数 z1z_1 和 z2z_2 是方程 z2−6z+36=0z^2 - 6z + 36 = 0 的根，且满足 arg⁡(z1)>arg⁡(z2)\arg(z_1) > \arg(z_2)。求 z1z_1 和 z2z_2 的精确表达式，表示为 reiθre^{i\theta}…
  16. 16在同一个阿根特图上，画出由 −π4<arg⁡(z+1+2i)≤π4-\frac{\pi}{4} < \arg(z + 1 + 2\text{i}) \le \frac{\pi}{4} 和 ∣(2+i)w+5∣≤5|(2 + \text{i})w + 5| \le \sqrt{5} 所确定的轨迹…
  17. 17复数 zz 的模为 2，辐角为 π8\frac{\pi}{8}。已知 w=1+iw = 1 + \mathrm{i}。 已知 nn 是一个整数，求用 nn 表示的 znw∗\frac{z^n}{w^*}，答案以 reiθr\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}…
  18. 18解方程 iz5=−32iz^5=-32，求出其根并表示为 reiθre^{i\theta} 的形式，其中 r>0r>0 且 −π<θ≤π-\pi<\theta\le\pi。在阿甘图上描绘出代表这些根的点 P1,P2,P3,P4P_1, P_2, P_3, P_4 和 P5P_5，其…
  19. 19已知复数 z=3+4iz = 3 + 4i，求 ∣z∣|z|、zˉ\bar{z} 和 z2z^2。
  20. 20复数 zz 满足方程 2 z3=1+22a−1 i,\sqrt{2}\,z^{3} = 1 + \dfrac{2}{2a - 1}\,i , 其中 aa 是实数。 已知 arg⁡(z3)=−π4\arg\bigl(z^{3}\bigr) = -\dfrac{\pi}{4}。 证…
  21. 21求使表达式 2−isin⁡2α1+2isin⁡2α\dfrac{2 - i\sin 2\alpha}{1 + 2i\sin 2\alpha} 为纯实数的 α\alpha 的取值集合。 如果 zz and ww 是不同的非零复数，且 ∣w∣=1|w| = 1，求 ∣3(w−z)1−z‾w∣\left|\dfrac{3(w - z)}{1 - \overline{z}w}\right|…
  22. 22回答本题时不得使用计算器。 已知 α=−3+i\alpha = -\sqrt{3} + \mathrm{i} 且 β=cos⁡π3+isin⁡π3\beta = \cos\frac{\pi}{3} + \mathrm{i}\sin\frac{\pi}{3}。 求 α5β∗\frac{\alpha^5}{\beta^*}…
  23. 23已知 z1=−i2z_1 = -\frac{\text{i}}{2} 是方程 2z3+(i−8)z2+az+13i=02z^3 + (\text{i}-8)z^2 + az + 13\text{i} = 0 的一个根，求复数 aa 并解该方程，给出笛卡尔形式 x+iyx + \text{i}y…
  24. 24设ii为虚数单位，则复数i−2i \dfrac {i-2}{i}的共轭复数是 ___ ．
  25. 25复数 aa 的模为 rr，辐角为 θ\theta，其中 r∈R+r \in \mathbb{R}^+ 且 0<θ<π20 < \theta < \frac{\pi}{2}。复数 bb 满足 b=−2iab = -2ia，复数 cc 为纯虚数且虚部为负…
  26. 26点 A 表示一个固定的复数 aa，满足 −π2<arg⁡a<0-\dfrac{\pi}{2}<\arg a<0。复数 iaia 和 a+iaa+ia 分别由点 B 和 C 表示。在清晰标注的阿甘图（Argand diagram）上，画出点 A、B、C 以及表示…
  27. 27回答本题时不得使用计算器。 写出你的解答过程，求满足联立方程组的复数 zz 和 ww： 2iz+w=5+7i,(4−i)w∗=z−3i.\begin{aligned} 2\text{i}z + w &= 5 + 7\text{i}, \\ (4 - \text{i})w^* &= z - 3\text{i}. \end{aligned}…
  28. 28点 AA 表示复数 aa，满足 ∣a∣=1|a|=1 且 θ=arg⁡(a),  0<θ<π4\theta=\arg(a),\; 0<\theta<\dfrac{\pi}{4}。点 BB 表示复数 iaia。 复数 zz 满足关系式 ∣z−ia∣≤2and∣z−ia∣=∣z−a∣.|z-ia|\le\sqrt{2}\quad\text{and}\quad|z-ia|=|z-a|.…
  29. 29已知复数z1=2+aiz_{1}=2+ai，z2=2−iz_{2}=2-i，若∣z1∣<∣z2∣|z_{1}| < |z_{2}|，则实数aa的取值范围是 ___ ．
  30. 30复数 zz 随 tt 变化，满足 z=2cos⁡t+i(3sin⁡t),where 0≤t<2π.z = 2\cos t + \mathrm{i}(3\sin t), \quad \text{where } 0 \le t < 2\pi. 令 x=Re(z)x = \mathrm{Re}(z) 且 y=Im(z)y = \mathrm{Im}(z)…
  31. 31解方程 z5+16=163 iz^5 + 16 = 16\sqrt{3}\, i，将根表示为 reiθr e^{i\theta} 的形式，其中 r>0r>0 且 −π<θ≤π-\pi < \theta \le \pi。在阿根特图上表示这些根。 点 AA 和 BB 表示…
  32. 32复数 aa 和 bb 由 a=−(1+3i)a = -(1 + \sqrt{3}\text{i}) and b=12(1−i)b = \frac{1}{2}(1 - \text{i}) 给出。 不使用计算器，求出形如 x+iyx + \text{i}y 的 a2ba^2b…
  33. 33在同一个阿氏图（Argand图）上，画出表示复数 zz 的点的轨迹，满足 ∣z−4−2i∣≤2and∣z−3∣≤∣z−5∣.|z-4-2i| \le 2\quad\text{and}\quad |z-3| \le |z-5|. 求以下各项的最大值和最小值： (a) ∣z∣|z|，…
  34. 34解答本题时请勿使用图形计算器。 复数 ww 是方程 z4+az3+46z2+bz+125=0,z^4 + a z^3 + 46 z^2 + b z + 125 = 0 , 的一个根，其中 a,b∈Ra,b \in \mathbb{R}。 证明因式 z−wz - w 与 z−w∗z - w^*…
  35. 35已知 z1=r1(cos⁡θ1+isin⁡θ1)z_1 = r_1(\cos\theta_1 + \mathrm{i}\sin\theta_1) 且 z2=r2(cos⁡θ2+isin⁡θ2)z_2 = r_2(\cos\theta_2 + \mathrm{i}\sin\theta_2)，利用三角函数方法证明 z1z2=r1r2[cos⁡(θ1−θ2)+isin⁡(θ1−θ2)]\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1 - \theta_2) + \mathrm{i}\sin(\theta_1 - \theta_2)]…
  36. 36若复数zz满足(2−i)z=4+3i(i(2-i)z=4+3i(i为虚数单位))，则∣z∣=|z|=
  37. 37证明 eiθ1−eiθ\frac{\text{e}^{\text{i}\theta}}{1 - \text{e}^{\text{i}\theta}} 可以表示为 k(icot⁡θ2−1)k\left(\text{i}\cot\frac{\theta}{2} - 1\right)…
  38. 38复数 zz 满足关系式 ∣z∣≤2|z|\le 2 且 π6≤arg⁡z≤π2\dfrac{\pi}{6}\le \arg z \le \dfrac{\pi}{2}。在同一个阿根特图上，将这两个关系表示为区域 RR。 已知 ll 是满足 arg⁡(z−3)=k\arg\left(z-\sqrt{3}\right)=k…
  39. 39已知 z=λ−4i1−λiz = \frac{\lambda - 4i}{1 - \lambda i}，其中 λ∈R\lambda \in \mathbb{R} 且 arg⁡(z)=π\arg(z) = \pi，求 zz 的值。 解答本题时请勿使用计算器。 复数 zz…
  40. 40回答本题时请勿使用计算器。 复数 zz 的模为 1，辐角为 θ\theta，其中 π2<θ<π\dfrac{\pi}{2}<\theta<\pi，复数 ww 由 w=i3 zw = i\sqrt{3}\,z 给出。阿尔甘图（复平面）上的点 PP 表…
  41. 41解方程 z5+32=0z^{5}+32=0，将你的答案表示为 reiθre^{i\theta} 的形式，其中 r>0r>0 且 −π<θ≤π-\pi<\theta\le\pi。 z1z_{1}，z2z_{2} 和 z3z_{3} 是 z5+32=0z^{5}+32=0 的三…
  42. 42复数 zz 满足 ∣z−4−3i∣≤2andπ<arg⁡[(z−4)2]<2π|z-4-3\text{i}| \le 2 \quad \text{and} \quad \pi < \arg\left[(z-4)^2\right] < 2\pi 在阿甘特图上清晰地画出 zz 的轨迹。 求…
  43. 43设复数 zz 为 −1+i3-1+i\sqrt{3}。求： arg⁡(z)\arg(z)， 实数 aa，使得 arg⁡(z(z+a))=5π6\arg\big(z(z+a)\big)=\frac{5\pi}{6}。 解方程 iz3=3−3ii z^{3}=3-3i，将你的答案写成 reiθre^{i\theta}…
  44. 44等差数列的首项为 aa，公差为 dd，其中 a>0a > 0 且 d≠0d \ne 0。 该等差数列的第一、第六和第九项是某等比数列的连续三项。 证明 25d=−2a25d = -2a。 等差数列的前 nn 项和记为 SS。求满足 SS 大于…
  45. 45点 P 和 Q 分别由复数 p 和 q 表示，其中 p=2+2i , arg⁡(q)=23π and ∣q∣=2.p=\sqrt{2}+\sqrt{2}i\,,\ \arg(q)=\dfrac{2}{3}\pi\text{ and }|q|=2. 求 ∣p∣|p| 和 arg⁡(p)\arg(p) 的精确值。…
  46. 46已知复数z1=2+ai(a∈R)z_{1}=2+ai(a∈R)，z2=1−2iz_{2}=1-2i，若z1z2 \dfrac {z_{1}}{z_{2}}为纯虚数，则∣z1∣=()|z_{1}|=() A. 2 \sqrt {2} B. 3 \sqrt {3}…
  47. 47已知 z=1+3iz = 1 + \sqrt{3}\mathrm{i}，arg⁡(w)=π4\arg(w) = \frac{\pi}{4} 且 ∣zw∣=22|zw| = 2\sqrt{2}。 求 ww，表示为 x+iyx + \mathrm{i}y 的形式，其中 x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}…
  48. 48下方阿冈德图（Argand diagram）上的点 A 表示模为 rr、辐角为 θ\theta 的复数 w1w_1。已知复数 w2w_2 和 w3w_3 满足方程 w2=−w1w_2 = -w_1 且 w3=iw2w_3 = i w_2。 设 B、C…
  49. 49求解关于复数 zz 和 ww 的下列联立方程组： 2iz∗−w=1z+w∗=4\begin{aligned} 2\mathrm{i}z^* - w &= 1 \\ z + w^* &= 4 \end{aligned}
  50. 50复数 zz 满足 az2+bz+a=0az^2 + bz + a = 0，其中 aa 和 bb 是实常数。已知 z=z0z = z_0 是该方程的一个解，其中 Im(z0)≠0\mathrm{Im}(z_0) \ne 0。 在接下来的问题中，取 Im(z0)=12\mathrm{Im}(z_0)=\frac{1}{2}…
  51. 51方程 x3−1=0x^3 - 1 = 0 的三个不同的根记为 1,ω1, \omega 和 ω2\omega^2。 在不先显式求出 ω\omega 的情况下，证明 1+ω+ω2=01 + \omega + \omega^2 = 0。 现在已知 0<arg⁡(ω)<π0 < \arg(\omega) < \pi…
  52. 52回答本题时请勿使用计算器。 复数 zz 和 ww 满足以下方程： w+z∗=−2+4iw+z^{*}=-2+4i z+2=3iwz+2=3iw 求 zz 和 ww，将你的答案写成 a+iba+ib 的形式，其中 aa 和 bb 是实数。
  53. 53复数 zz 随 tt 变化，满足： z=2cos⁡t+i(3sin⁡t),其中 0≤t<2π.z = 2\cos t + i(3\sin t),\quad \text{其中 } 0 \le t < 2\pi. 令 x=Re⁡(z)x = \operatorname{Re}(z) 且 y=Im⁡(z)y = \operatorname{Im}(z)…
  54. 54回答此问题时请勿使用计算器。 方程 3x3+px2+qx+3=03x^3 + px^2 + qx + 3 = 0（其中 pp 和 qq 是实数）的其中一个根是 1+2i1 + \sqrt{2}\mathrm{i}。求其他根以及 pp 和 qq 的值。…
  55. 55解方程 z4=3−iz^4 = \sqrt{3} - i，将根写成 reiθre^{i\theta} 的形式，其中 r>0r > 0 且 −π<θ≤π-\pi < \theta \le \pi。 在阿冈图上表示这些根，并写出这些根所在的几何图形的直角坐标方程。
  56. 56复数 zz 和 ww 满足 z=1+ia,w=−b−iz = 1 + i a, \quad w = -b - i 其中 aa 和 bb 为正实数。 已知 zw=6−11izw = 6 - 11i，求 aa 和 bb 的精确值。 复数 uu 的共轭复数的模为 2…
  57. 57回答本题时请勿使用计算器。 复数 zz 的模为 1，辐角为 θ\theta，其中 π2<θ<π\frac{\pi}{2} < \theta < \pi，且复数 ww 由 w=i3zw = \mathrm{i}\sqrt{3}z 给出。阿尔冈…
  58. 58[剑桥/9794/2010年样卷] 求方程 x2−6x+13=0x^2 - 6x + 13 = 0 的根 pp 和 qq。如果 pp 是其辐角为锐角的根，求一个以 ipip 和 −iq-iq 为根的方程。
  59. 59复数 zz 的极坐标形式由 z=reiθz = r\text{e}^{\text{i}\theta} 给出，其中 r>0r > 0 且 0<θ≤π0 < \theta \le \pi，复数 w=(13−33i)zw = \left(\frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}\text{i}\right)z…
  60. 60若复数满足z−(1+i)=2iz-(1+i)=2i，则zz的模是()(\quad) A. 2\sqrt{2} B. 22 C. 10\sqrt{10} D. 1010