已知$z$是复数，若$z+2i$为实数$(i$为虚数单位$)$，且$z-4$为纯虚数． (1)求复数$z$； (2)若复数$(z+mi)^{2}$在复平面上对应的点在第四象限，求实数$m$的取值范围．

1. 设出复数的代数形式并表示各相关复数

设 $z = x + yi$ ($x, y \in \mathbb{R}$)，
则 $z + 2i = x + (y + 2)i$，
$z - 4 = (x - 4) + yi$。

2. 根据实数和纯虚数的概念列方程求解并写出结果

因为 $z + 2i$ 为实数，所以其虚部为 $0$，即 $y + 2 = 0$，解得 $y = -2$。
因为 $z - 4$ 为纯虚数，所以其实部为 $0$ 且虚部不为 $0$，即 $x - 4 = 0$ 且 $y \neq 0$。
由 $y = -2 \neq 0$，符合题意，解得 $x = 4$。
所以复数 $z = 4 - 2i$。

1. 计算并化简 $(z+mi)^2$

由第(1)问知 $z = 4 - 2i$，所以 $z + mi = 4 + (m - 2)i$。
从而有：
$(z+mi)^2 = [4 + (m-2)i]^2 = 16 - (m-2)^2 + 8(m-2)i = (12 + 4m - m^2) + 8(m-2)i$

2. 利用象限特征列出不等式组

因为复数 $(z+mi)^2$ 在复平面上对应的点在第四象限，
所以该复数的实部大于零，虚部小于零，即：
$\begin{cases} 12 + 4m - m^2 > 0 \\ 8(m-2) < 0 \end{cases}$

3. 解不等式组并得出 $m$ 的取值范围

由第一个不等式 $m^2 - 4m - 12 < 0$，解得 $-2 < m < 6$；
由第二个不等式 $m - 2 < 0$，解得 $m < 2$。
取交集可得，实数 $m$ 的取值范围是 $-2 < m < 2$，即区间 $(-2, 2)$。