已知$A(1\:,\:2)$，$B(a\:,1)$，$C(2\:,\:3)$，$D(-1,b)($其中$a$，$b\in R)$是复平面上的四点，且向量$\overset{\rightarrow}{{AB}}{,}{\overset{\rightarrow}{{CD}}{,}}$对应的复数分别为$Z_{1}$，$Z_{2}.(1)$若${z}_{1}+{z}_{2}=1+i$，求$\dfrac{1+i}{{z}_{1}}+\dfrac{1-i}{{z}_{2}}$； (2)若${z}_{1}+{z}_{2}$为纯虚数，${z}_{1}-{z}_{2}$为实数，求$a$，$b$的值.

1. 根据向量的坐标表示求出复数 $z_1$ 和 $z_2$ 的代数形式

由题意得：
$\overrightarrow{AB} = (a, 1) - (1, 2) = (a - 1, -1)$
$\overrightarrow{CD} = (-1, b) - (2, 3) = (-3, b - 3)$
因为向量 $\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CD}$ 对应的复数分别为 $z_1$，$z_2$，
所以：
$z_1 = (a - 1) - i$
$z_2 = -3 + (b - 3)i$

2. 根据 $z_1 + z_2 = 1 + i$ 求出 $a$ 和 $b$ 的值

计算 $z_1 + z_2$：
$z_1 + z_2 = (a - 4) + (b - 4)i$
已知 $z_1 + z_2 = 1 + i$，由复数相等的充要条件可得：
$\begin{cases} a - 4 = 1 \\ b - 4 = 1 \end{cases}$
解得：
$\begin{cases} a = 5 \\ b = 5 \end{cases}$
因此，$z_1 = 4 - i$，$z_2 = -3 + 2i$。

3. 求代数式 $\dfrac{1+i}{z_1}+\dfrac{1-i}{z_2}$ 的值

将 $z_1, z_2$ 的值代入，计算：
$\dfrac{1+i}{z_1} + \dfrac{1-i}{z_2} = \dfrac{1+i}{4-i} + \dfrac{1-i}{-3+2i}$
$\dfrac{1+i}{4-i} = \dfrac{(1+i)(4+i)}{(4-i)(4+i)} = \dfrac{4 + i + 4i - 1}{16 + 1} = \dfrac{3 + 5i}{17}$
$\dfrac{1-i}{-3+2i} = \dfrac{(1-i)(-3-2i)}{(-3+2i)(-3-2i)} = \dfrac{-3 - 2i + 3i - 2}{9 + 4} = \dfrac{-5 + i}{13}$
进行通分求和：
$\dfrac{3+5i}{17} + \dfrac{-5+i}{13} = \dfrac{13(3+5i) + 17(-5+i)}{221} = \dfrac{39 + 65i - 85 + 17i}{221} = -\dfrac{46}{221} + \dfrac{82}{221}i$

1. 用 $a, b$ 表示复数 $z_1+z_2$ 和 $z_1-z_2$

复用 (1) 中的结果，我们有：
$z_1 = (a - 1) - i$
$z_2 = -3 + (b - 3)i$
由此可得：
$z_1 + z_2 = (a - 4) + (b - 4)i$
$z_1 - z_2 = ((a - 1) - (-3)) + (-1 - (b - 3))i = (a + 2) + (2 - b)i$

2. 利用纯虚数与实数的条件建立方程组并求解 $a$ 和 $b$ 的值

因为 $z_1 + z_2$ 为纯虚数，$z_1 - z_2$ 为实数，
所以实部与虚部满足：
$\begin{cases} a - 4 = 0 \\ b - 4 \neq 0 \\ 2 - b = 0 \end{cases}$
解得：
$\begin{cases} a = 4 \\ b = 2 \end{cases}$
且当 $b=2$ 时，$b-4 = -2 \neq 0$ 满足纯虚数的定义。
所以 $a, b$ 的值分别为 $a=4, b=2$。