“α=π4α=\dfrac{π}{4}”是“sin⁡α=22\sin α=\dfrac{\sqrt{2}}{2}”的()(\quad)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分也非必要条件

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完整解法

1. 验证充分性,即判断由“$α=\dfrac{π}{4}$”能否推出“$\sin α=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$”

当 α=π4α=\dfrac{π}{4} 时,根据特殊角的三角函数值可知:
sin⁡α=sin⁡π4=22\sin α = \sin \dfrac{π}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}
所以,“α=π4α=\dfrac{π}{4}” ⇒\Rightarrow “sin⁡α=22\sin α=\dfrac{\sqrt{2}}{2}”,充分性成立。

2. 验证必要性,即判断由“$\sin α=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$”能否推出“$α=\dfrac{π}{4}$”

当 sin⁡α=22\sin α=\dfrac{\sqrt{2}}{2} 时,在区间 [0,2π)[0, 2π) 内,满足条件的角有 α=π4α=\dfrac{π}{4} 或 α=3π4α=\dfrac{3π}{4}。
更一般地,解得:
α=π4+2kπ或α=3π4+2kπ(k∈Z)α = \dfrac{π}{4} + 2kπ \quad \text{或} \quad α = \dfrac{3π}{4} + 2kπ \quad (k \in \mathbb{Z})
因此,由“sin⁡α=22\sin α=\dfrac{\sqrt{2}}{2}”不能唯一推出“α=π4α=\dfrac{π}{4}”(例如 α=3π4α = \dfrac{3π}{4} 时,等式也成立,但 α≠π4α \neq \dfrac{π}{4})。
所以,“sin⁡α=22\sin α=\dfrac{\sqrt{2}}{2}” ⇒\cancel{\Rightarrow} “α=π4α=\dfrac{π}{4}”,必要性不成立。

3. 综合得出结论并选择选项

综上所述,“α=π4α=\dfrac{π}{4}”是“sin⁡α=22\sin α=\dfrac{\sqrt{2}}{2}”的充分不必要条件。
故选:A。

答案

A

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