1. 化简并统一三个数 $a, b, c$ 的形式
首先将 a,b,c 化简:
对于 a:a=log36=log3(3×2)=1+log32;
对于 b:根据对数恒等式 xlogxy=y,有 3−log3e=3log3e−1=e−1=e1,故 b=1+e1;
对于 c:根据负整数指数幂的性质,c=(32)−1=23=1+0.5=1+21。
因此,三个数均可写成 1+x 的形式,只需比较 log32、e1、21 的大小关系。
2. 利用函数单调性和常用常数估计大小并得出结论
比较三个数中增加的部分:
① 比较 log32 与 21:
因为 21=log33,且对数函数 y=log3x 在 (0,+∞) 上单调递增,而 2>3≈1.732,
所以 log32>log33=0.5;
② 比较 e1 与 21:
因为 自然对数的底数 e≈2.718>2,根据倒数的单调性,有 e1<21=0.5;
综合以上,有 log32>0.5>e1,
即 a>c>b。
故选 D。