已知a=log⁡36a=\log _{3}6,b=1+3  −log⁡3eb=1+3\;^{-\log _{3}e},c=(23)−1c=( \dfrac {2}{3})^{-1}则aa,bb,cc的大小关系为()()
A. a>b>ca > b > c
B. b>a>cb > a > c
C. c>b>ac > b > a
D. a>c>ba > c > b

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完整解法

1. 化简并统一三个数 $a, b, c$ 的形式

首先将 a,b,ca, b, c 化简:
对于 aa:a=log⁡36=log⁡3(3×2)=1+log⁡32a = \log_{3} 6 = \log_{3}(3 \times 2) = 1 + \log_{3} 2;
对于 bb:根据对数恒等式 xlog⁡xy=yx^{\log_x y} = y,有 3−log⁡3e=3log⁡3e−1=e−1=1e3^{-\log_{3}e} = 3^{\log_{3} e^{-1}} = e^{-1} = \frac{1}{e},故 b=1+1eb = 1 + \frac{1}{e};
对于 cc:根据负整数指数幂的性质,c=(23)−1=32=1+0.5=1+12c = \left(\frac{2}{3}\right)^{-1} = \frac{3}{2} = 1 + 0.5 = 1 + \frac{1}{2}。
因此,三个数均可写成 1+x1 + x 的形式,只需比较 log⁡32\log_{3} 2、1e\frac{1}{e}、12\frac{1}{2} 的大小关系。

2. 利用函数单调性和常用常数估计大小并得出结论

比较三个数中增加的部分:
① 比较 log⁡32\log_{3} 2 与 12\frac{1}{2}:
因为 12=log⁡33\frac{1}{2} = \log_{3} \sqrt{3},且对数函数 y=log⁡3xy = \log_{3} x 在 (0,+∞)(0, +\infty) 上单调递增,而 2>3≈1.7322 > \sqrt{3} \approx 1.732,
所以 log⁡32>log⁡33=0.5\log_{3} 2 > \log_{3} \sqrt{3} = 0.5;
② 比较 1e\frac{1}{e} 与 12\frac{1}{2}:
因为 自然对数的底数 e≈2.718>2e \approx 2.718 > 2,根据倒数的单调性,有 1e<12=0.5\frac{1}{e} < \frac{1}{2} = 0.5;
综合以上,有 log⁡32>0.5>1e\log_{3} 2 > 0.5 > \frac{1}{e},
即 a>c>ba > c > b。
故选 D。

答案

D

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