若$a > b > 1,0 < c < 1$，则$()$

A. ${{a}^{c}} > {{b}^{c}}$

B. $a{{b}^{c}} < b{{a}^{c}}$

C. ${{\log }_{a}}c > {{\log }_{b}}c$

D. $a{{\log }_{b}}c < b{{\log }_{a}}c$

1. 分析选项A的正确性

因为 $a > b > 1$ 且 $0 < c < 1$，考虑幂函数 $f(x) = x^c$。
由于 $c > 0$，函数 $f(x) = x^c$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递增。
因此，当 $a > b$ 时，有 $a^c > b^c$。
所以选项A正确。

2. 分析选项B的正确性

要比较 $ab^c$ 与 $ba^c$ 的大小，等价于比较 $\frac{a^c}{a}$ 与 $\frac{b^c}{b}$ 的大小，即比较 $a^{c-1}$ 与 $b^{c-1}$ 的大小。
因为 $0 < c < 1$，所以 $c - 1 < 0$。
考虑幂函数 $g(x) = x^{c-1}$，由于其指数小于 $0$，所以在 $(0, +\infty)$ 上单调递减。
因为 $a > b > 1$，所以 $a^{c-1} < b^{c-1}$。
两边同乘以 $ab > 0$，得 $a^c \cdot b < b^c \cdot a$，即 $ab^c > ba^c$。
所以选项B错误。

3. 分析选项C的正确性

比较 $\log_a c$ 与 $\log_b c$ 的大小。
因为 $0 < c < 1$ 且 $a > b > 1$，所以 $\log_a c < 0$ 且 $\log_b c < 0$。
根据换底公式，有：
$\frac{\log_a c}{\log_b c} = \frac{\frac{\ln c}{\ln a}}{\frac{\ln c}{\ln b}} = \frac{\ln b}{\ln a}$
因为 $a > b > 1$，所以 $\ln a > \ln b > 0$，从而 $0 < \frac{\ln b}{\ln a} < 1$。
即 $\frac{\log_a c}{\log_b c} < 1$。
由于 $\log_b c < 0$，不等式两边同乘以 $\log_b c$ 需改变不等号方向，得：
$\log_a c > \log_b c$
所以选项C正确。

4. 分析选项D的正确性

由选项C的结论可知，$\log_a c > \log_b c$ 且它们都小于 $0$。
所以有 $-\log_a c < -\log_b c$，且两个值均大于 $0$。
因为 $a > b > 1 > 0$，根据不等式的性质，同向正数不等式两边分别相乘：
由于 $a > b > 0$ 且 $-\log_b c > -\log_a c > 0$，
故有 $a \cdot (-\log_b c) > b \cdot (-\log_a c)$，
即 $-a \log_b c > -b \log_a c$，
两边同乘以 $-1$，改变不等号方向得：
$a \log_b c < b \log_a c$
所以选项D正确。