已知直线$y=ax+b(a\in R,b>0)$是曲线$f(x)=e^{x}$与曲线$g(x)=\ln x+2$的公切线，则$a+b$等于$(\quad)$

A. $e+2$

B. $3$

C. $e+1$

D. $2$

1. 设出第一条曲线的切点并求出其切线方程

设曲线 $f(x)=e^x$ 与公切线的切点为 $(m, e^m)$。
由于 $f'(x)=e^x$，所以该切点处的切线斜率为 $k = e^m$。
故切线方程为：$y - e^m = e^m(x - m)$，整理得：$y = e^m x + e^m(1 - m)$ ……①

2. 设出第二条曲线的切点并求出其切线方程

设曲线 $g(x)=\ln x+2$ 与公切线的切点为 $(t, \ln t + 2)$（其中 $t > 0$）。
由于 $g'(x) = \frac{1}{x}$，所以该切点处的切线斜率为 $k = \frac{1}{t}$。
故切线方程为：$y - (\ln t + 2) = \frac{1}{t}(x - t)$，整理得：$y = \frac{1}{t} x + \ln t + 1$ ……②

3. 根据公切线重合，列出方程组并转化为一元方程

因为①与②表示同一条直线 $y=ax+b$，通过比较系数可得：
$\begin{cases} a = e^m = \dfrac{1}{t} \\ b = e^m(1 - m) = \ln t + 1 \end{cases}$
由第一式可得 $t = e^{-m}$。
将其代入第二式，得：
$e^m(1 - m) = \ln(e^{-m}) + 1 = 1 - m$

4. 解一元方程求出参数 $m$ 的可能值

整理方程 $e^m(1 - m) = 1 - m$，得：
$(e^m - 1)(1 - m) = 0$
解得 $m = 0$ 或 $m = 1$。

5. 结合约束条件筛选解并计算 $a+b$ 的值

根据题意，需要满足 $b > 0$：

• 当 $m = 1$ 时，$b = e^1(1 - 1) = 0$，不满足 $b > 0$，故舍去；
• 当 $m = 0$ 时，$b = e^0(1 - 0) = 1 > 0$，符合题意。
  此时，公切线的斜率 $a = e^0 = 1$，截距 $b = 1$。
  所以 $a + b = 1 + 1 = 2$。
  故正确选项为 D。