已知a=30.5a=3^{0.5},b=log⁡32b=\log_{3}2,c=tan⁡2π3c=\tan\dfrac{2π}{3},则()(\quad)
A. a>b>ca>b>c
B. b>a>cb>a>c
C. c>a>bc>a>b
D. a>c>ba>c>b

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完整解法

1. 估算 $a = 3^{0.5}$ 的范围

根据指数函数 y=3xy = 3^x 的单调递增性,当 x>0x > 0 时,3x>30=13^x > 3^0 = 1。
因为 0.5>00.5 > 0,所以 a=30.5>1a = 3^{0.5} > 1。

2. 估算 $b = \log_{3}2$ 的范围

根据对数函数 y=log⁡3xy = \log_{3}x 在 (0,+∞)(0, +\infty) 上的单调递增性,有 log⁡31<log⁡32<log⁡33\log_{3}1 < \log_{3}2 < \log_{3}3。
即 0<b<10 < b < 1。

3. 计算 $c = \tan\dfrac{2\pi}{3}$ 的值并判断符号

利用三角函数的诱导公式与特殊角三角函数值,可得:
c=tan⁡2π3=tan⁡(π−π3)=−tan⁡π3=−3c = \tan\dfrac{2\pi}{3} = \tan\left(\pi - \dfrac{\pi}{3}\right) = -\tan\dfrac{\pi}{3} = -\sqrt{3}。
因此 c<0c < 0。

4. 综合比较 $a, b, c$ 的大小并得出结论

综上所述,因为 a>1a > 1,0<b<10 < b < 1,c<0c < 0,所以 a>b>ca > b > c。
故正确选项为 A。

答案

A

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