已知函数$f\left(x\right)={{\log}_{4}}\dfrac{x-1}{x+1}(1)$若$f\left(a\right)=\dfrac{1}{2}$，求$a$的值； (2)判断$f\left(x\right)$的奇偶性，并证明你的结论. (3)求不等式$f\left(x\right)>1$的解集.

1. 根据 $f(a)=\dfrac{1}{2}$ 列出关于 $a$ 的方程并将其转化为指数形式

由 $f(a) = \dfrac{1}{2}$ 可得：
$\log_{4}\dfrac{a-1}{a+1} = \dfrac{1}{2}$
由于 $4^{\frac{1}{2}} = 2$，可将对数式转化为指数式：
$\dfrac{a-1}{a+1} = 2$

2. 求解一元一次分式方程求出 $a$ 的值并验证定义域

解方程 $\dfrac{a-1}{a+1} = 2$：
$a-1 = 2(a+1)$
$a-1 = 2a+2$
$a = -3$
验证定义域：将 $a=-3$ 代入真数部分，$\dfrac{-3-1}{-3+1} = 2 > 0$，符合对数有意义的条件。
所以 $a$ 的值为 $-3$。

1. 求出函数的定义域，并判断其关于原点是否对称

要使函数 $f(x) = \log_{4}\dfrac{x-1}{x+1}$ 有意义，需满足真数大于 $0$：
$\dfrac{x-1}{x+1} > 0$
即 $(x-1)(x+1) > 0$，解得 $x > 1$ 或 $x < -1$。
所以函数 $f(x)$ 的定义域为 $D = (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$。
由于定义域 $D$ 关于原点对称，可以继续探讨其奇偶性。

2. 计算 $f(-x)$ 并利用对数性质证明 $f(-x) = -f(x)$

对任意 $x \in D$，有 $-x \in D$：
$f(-x) = \log_{4}\dfrac{-x-1}{-x+1} = \log_{4}\dfrac{-(x+1)}{-(x-1)} = \log_{4}\dfrac{x+1}{x-1}$
由于 $\dfrac{x+1}{x-1} = \left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)^{-1}$，根据对数的运算性质可得：
$f(-x) = \log_{4}\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)^{-1} = -\log_{4}\dfrac{x-1}{x+1} = -f(x)$
因此，函数 $f(x)$ 为奇函数。

1. 利用对数函数的单调性将对数不等式转化为代数不等式

不等式 $f(x) > 1$ 即为：
$\log_{4}\dfrac{x-1}{x+1} > 1$
因为对数的底数 $4 > 1$，所以函数 $y = \log_4 t$ 在 $(0, +\infty)$ 上是单调递增的。
因此，原不等式等价于：
$\dfrac{x-1}{x+1} > 4^1 = 4$

2. 求解分式不等式并写出最终的解集

对分式不等式 $\dfrac{x-1}{x+1} > 4$ 进行移项和通分：
$\dfrac{x-1}{x+1} - 4 > 0 \implies \dfrac{x-1-4(x+1)}{x+1} > 0$
$\dfrac{-3x-5}{x+1} > 0 \implies \dfrac{3x+5}{x+1} < 0$
此分式不等式等价于：
$(3x+5)(x+1) < 0$
解得：
$-\dfrac{5}{3} < x < -1$
由于区间 $\left(-\dfrac{5}{3}, -1\right)$ 完全包含在函数定义域 $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$ 内，
所以，不等式的解集为 $\left(-\dfrac{5}{3}, -1\right)$。