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分式不等式

求解形式为 f(x)g(x)>0\dfrac{\mathrm{f}(x)}{\mathrm{g}(x)} > 0 的不等式，其中 f(x)\mathrm{f}(x) 和 g(x)\mathrm{g}(x) 为一次表达式或二次表达式。

这个知识点的练习题

  1. 1已知一个数列的前 nn 项和为 Sn=3n(n+2)S_n = 3n(n + 2)。证明该数列是一个等差数列。 第 (a) 部分中数列的第二项、第七项和第 mm 项是一个等比数列的前三个连续项，该等比数列的第 nn 项记为 vnv_n。求 mm…
  2. 2已知一个级数的前 nn 项和为 Sn=3n(n+2)S_n = 3n(n + 2)。证明该级数的各项构成等差数列。 (a) 部分中该级数的第二项、第七项和第 mm 项是一个等比级数的前三个连续项，且其第 nn 项由 vnv_n 给出。求 mm 的值…
  3. 3求不等式 2x+1x2−1≤1\frac{2x+1}{x^2-1} \le 1 的精确解。 曲线 GG 的方程为 ay2+bx3+cx=2ay^2 + bx^3 + cx = 2，其中 aa、bb 和 cc 是常数。已知 GG 经过点 (1,3)(1, \sqrt{3})…
  4. 4曲线 CC 的方程为 y=x−2kx2+x−2y = \frac{x - 2}{kx^2 + x - 2}，其中 k>1k > 1。 求 CC 与 yy 轴相交的点 AA 处的切线方程。 画出 CC 的草图，并用含 kk 的式子给出渐近线方程、极值点…
  5. 5函数 gg 定义为 g:x↦ln⁡(x−3)g : x \mapsto \ln(x - \sqrt{3})，其中 x∈Rx \in \mathbb{R}，x>3x > \sqrt{3}。 解释你如何得知 g−1g^{-1} 存在。 求 g−1(x)g^{-1}(x) 并写…
  6. 6曲线 C 的方程为 y2x2=3a−xa+x,x≠0,\dfrac{y^2}{x^2}=\dfrac{3a-x}{a+x},\quad x \ne 0, 其中 aa 是正常数。 使用代数方法确定 xx 的取值范围，结果用 aa 表示。 在本题的其余部分中，取…
  7. 7已知集合A={x∈z∣∣x∣⩽2}A=\{x\in z||x|\leqslant 2\}，B={x∣x−2x+2⩽0}B=\left\{ x\left|\dfrac{x-2}{x+2}\leqslant 0\right.\right\}，则()(\quad) A. A∩B=AA∩B=A …
  8. 8绘制函数 y=7−2x3x2+x−14y = \frac{7-2x}{3x^2 + x - 14} 的图像。给出渐近线的方程、极值点的坐标以及曲线与坐标轴的交点坐标。 求 kk 的取值范围，使得 7−2x3x2+x−14=k\frac{7-2x}{3x^2 + x - 14} = k…
  9. 9不使用计算器，解不等式 3x2+9x−8x−1<2.\frac{3x^2 + 9x - 8}{x - 1} < 2. 由此解下列不等式 3e2x+9ex−8ex−1<2,\frac{3e^{2x} + 9e^x - 8}{e^x - 1} < 2, 由此解下列不等式 3+9x−8x2x−x2<2.\frac{3 + 9x - 8x^2}{x - x^2} < 2.…
  10. 10用代数方法证明，对于所有实数 xx，x2+2x+2x^2 + 2x + 2 恒为正数。 在不使用计算器的情况下，解不等式 x2+2x+26−x−x2≤0\frac{x^2 + 2x + 2}{6 - x - x^2} \le 0。 由此，解不等式 x+2x+2x+x−6≥0\frac{x + 2\sqrt{x} + 2}{x + \sqrt{x} - 6} \ge 0…
  11. 11集合P={x∣xx−3<0}P=\{x|\dfrac{x}{x-3}< 0\}，M={x∣x2<9}M=\{x|x^{2}< 9\}，则P∩M=P∩M=___.
  12. 12曲线 CC 的方程为 y=1bx2−2bxy = \frac{1}{\sqrt{bx^2 - 2bx}}，其中 b<0b < 0。草绘 CC 的图像，并在适用时用含有 bb 的式子表示出任何渐近线的方程、对称轴方程以及转折点的坐标。
  13. 13解答本题时请勿使用计算器。 解不等式 6x2+2x−32x−1≥2(x+1).\frac{6x^2 + 2x - 3}{2x - 1} \ge 2(x + 1). 由此，解 6x2+2∣x∣−32∣x∣−1≥2(∣x∣+1)\frac{6x^2 + 2|x| - 3}{2|x| - 1} \ge 2(|x| + 1)…
  14. 14画出方程为 y=ln⁡(x+1),x>−1y = \ln(x+1), x > -1 的曲线草图，写出渐近线方程以及与坐标轴的交点。在同一坐标系中，画出方程为 y=9−x2,−3≤x≤3y = \sqrt{9-x^2}, -3 \le x \le 3 的曲线草图，写出与坐标轴的交点。 利用…
  15. 15函数 f\text{f} 的定义为 f:x↦1x2−x−6+2,x∈R, x≠−2, x≠3.\text{f} : x \mapsto \frac{1}{x^2 - x - 6} + 2, \quad x \in \mathbb{R}, \ x \ne -2, \ x \ne 3. 解释…
  16. 16本题不得使用计算器求解。 解不等式 x−64x2+x−5≥1\frac{x-6}{4x^2+x-5} \ge 1。 由此求解不等式 x−6x24+x−5x2≥1\frac{x-6x^2}{4+x-5x^2} \ge 1。
  17. 17求 xx 的取值集合，使得 −1<2x+3x−1<1-1<\dfrac{2x+3}{x-1}<1。 由此推导 xx 的取值范围，使得 −1<2x+1x−2<1-1<\dfrac{2x+1}{x-2}<1。
  18. 18在不使用计算器的情况下，解不等式 30−11xx2−9≤−2.\frac{30-11x}{x^2-9} \le -2. 解不等式 (a−3bx2)eax−bx3<0,(a-3bx^2)e^{ax-bx^3} < 0, 其中 aa 和 bb 为正数常数。
  19. 19已知曲线 CC 的方程为 y=−4x2−6x−112x+2y = \dfrac{-4x^2 - 6x - 11}{2x + 2}，其中 x∈Rx \in \mathbb{R} 且 x≠−1x \ne -1。 不使用计算器，求 yy 不能取的值的集合。 画出 CC 的草…
  20. 20MI Promo 9758/2020/PU1/Q2 (修改版 (ii)) 不使用计算器，解不等式 3x−1≥2x+3.\frac{3}{x - 1} \ge 2x + 3. 由此，求不等式 3(ex−1)(2ex+3)≥1\frac{3}{(e^x - 1)(2e^x + 3)} \ge 1…
  21. 21函数 g\text{g} 定义为 g:x↦ln⁡(x−3)\text{g} : x \mapsto \ln(x - \sqrt{3})，其中 x∈Rx \in \mathbb{R} 且 x>3x > \sqrt{3}。 说明你如何得知反函数 g−1\text{g}^{-1}…
  22. 22在同一坐标系中，画出 y=1x−2y = \frac{1}{x - 2} 和 y=4x−2y = 4x - 2 的函数图像，并清晰地标出渐近线方程以及与坐标轴交点的坐标。 由此或通过其他方法，解不等式 1x−2≤4x−2\frac{1}{x - 2} \le 4x - 2…
  23. 23通过使用代换 y=∣x∣y = |x|，解不等式 ∣x∣+3x2+1>1\frac{|x|+3}{x^2+1} > 1。
  24. 24画出方程为 y=x−2x−1y = \frac{x-2}{x-1} 的曲线 CC 的草图，写出其与坐标轴的交点的精确坐标以及所有渐近线的方程。 通过在草图中添加一条直线，解不等式 x−2x−1≤2−x\frac{x-2}{x-1} \le 2-x。 由此，解不等式…
  25. 25图示为 y=∣a−bx∣y = |a - bx| 和 y=∣mx−6∣y = |mx - 6| 的图像，其中 aa、bb 和 mm 是正常数。y=∣a−bx∣y = |a - bx| 的图像与 xx 轴交于点 (94,0)\left(\frac{9}{4}, 0\right)…
  26. 26已知集合M={x∣2x−1⩾0}.M=\{x|\dfrac{2}{x-1}\geqslant 0\}.集合N={x∣2x+3>0}N=\{x|2x+3>0\}，则(∁RM)∩N=()(∁_{R}M)∩N=(\quad) A. [−32,1)[-\dfrac{3}{2},1) B. (−32,1)(-\dfrac{3}{2},1)…
  27. 27MI Promo 9758/2020/PU1/Q2（修改自第 (ii) 问） 不使用计算器，解不等式 3x−1≥2x+3\dfrac{3}{x - 1} \ge 2x + 3。 由此精确求解不等式 3(ex−1)(2ex+3)≥1\dfrac{3}{(e^{x} - 1)\left(2^{e^{x}} + 3\right)} \ge 1…
  28. 28已知 f(x)=ln⁡(1+2x2)\mathrm{f}(x) = \ln(1 + 2x^2)。 多项式 p(x)=ax2+bx+cp(x) = ax^2 + bx + c 用于在 1≤x≤21 \le x \le 2 内近似 f(x)\mathrm{f}(x)。已知 p(1)=f(1)p(1) = \mathrm{f}(1)…
  29. 29下面命题错误的是 A. 命题p∨qp\vee q为假命题，则pp，qq均为假命题 B. 已知p:1x<1p:\dfrac{1}{x} < 1，q:−1⩽x⩽1q:-1\leqslant x\leqslant 1，则¬p\neg p是qq…
  30. 30画出 (y+2)2=4(x−1)2−9(y+2)^2 = 4(x-1)^2 - 9 的图像，并展示其主要特征。 由此求 kk 的取值范围，使得方程 9+(y+2)2=4(k2−1)2.9 + (y+2)^2 = 4(k^2 - 1)^2. 没有实数根。 下图显示了 y=h(3−x)y = h(3 - x)…
  31. 31已知 a∈Ra \in \mathbb{R} 且 a>1a > 1，利用代数方法求解不等式 ax−a+2(x−a)(1−x)≤1.\frac{ax - a + 2}{(x - a)(1 - x)} \le 1 . 由此求出满足 a∣x∣−a+2(∣x∣−a)(1−∣x∣)≤1\frac{a|x| - a + 2}{(|x| - a)(1 - |x|)} \le 1…
  32. 32已知 aa 和 bb 都是正数常数，在同一幅图上，草拟以下函数的图像： y=2∣x−a∣andy=b∣x−a∣.y = \frac{2}{|x - a|} \quad \text{and} \quad y = b|x - a|. 由此或通过其他方法，解不等式 2∣x−a∣>b∣x−a∣\frac{2}{|x - a|} > b|x - a|…
  33. 33函数 f\mathrm{f} 定义为 f:x↦1−4x2, 对于 x∈R,x<−1.\mathrm{f} : x \mapsto 1 - \frac{4}{x^2}, \text{ 对于 } x \in \mathbb{R}, x < -1. 画出 y=f(x)y = \mathrm{f}(x)…
  34. 34在一次实验中，掷两个均匀的 nn 面骰子，每个骰子的面上分别标有数字 1，2，...，nn（其中 n≥4n \ge 4）。每个骰子出现的数字定义为与桌面接触的那个面上的数字。如果两个骰子出现的数字不同，则得分记为两个数字中较大的那…
  35. 35一族曲线由微分方程 xdydx−y=x(x−y)x\dfrac{dy}{dx}-y=x(x-y) 给出。 通过代换 y=vxy=vx，证明该曲线族可表示为 y=x(1−Ae−x)y = x(1-Ae^{-x})。 在同一个图中，画出对应于正值 AA 的该曲线族中的三条曲线。 求对应于…
  36. 36通过将 frac3x−7(x+3)(x−2)−1\\frac{3x - 7}{(x + 3)(x - 2)} - 1 表示为单个简化分数，精确求解不等式 frac3x−7(x+3)(x−2)<1.\\frac{3x - 7}{(x + 3)(x - 2)} < 1. 由此，精确求解不等式 frac3ex−7(ex+3)(ex−2)<1\\frac{3e^x - 7}{(e^x + 3)(e^x - 2)} < 1…
  37. 37不使用计算器，解不等式 4xx−3≥1\dfrac{4x}{x-3} \ge 1。 由此求满足 4∣x∣∣x∣−3≥1\dfrac{4|x|}{|x|-3} \ge 1 的 xx 的取值范围。
  38. 38曲线 CC 的方程为 y=2x2−10x+17x−3,x∈R,x≠3y = \frac{2x^2 - 10x + 17}{x - 3}, \quad x \in \mathbb{R}, \quad x \ne 3。 在不使用计算器的情况下，求 CC 可以取到的 yy 值集合。…
  39. 39不使用计算器，解不等式 11x−19x2+2x−8≤2\dfrac{11x-19}{x^2+2x-8} \le 2。 由此解 11e−x−19e−2x+2e−x−8≤2\dfrac{11e^{-x}-19}{e^{-2x}+2e^{-x}-8} \le 2，答案保留准确形式。
  40. 40解不等式 x−5x−1≤−1\dfrac{x-5}{x-1} \le -1。 由此解对于 0≤x≤π0 \le x \le \pi 的不等式 cos⁡(x−4)cos⁡x≤−1\dfrac{\cos (x-4)}{\cos x} \le -1。
  41. 41设数列{an}\{a_{n}\}满足an+1=4an−2an+1(n∈N∗)(1)a_{n+1}= \dfrac {4a_{n}-2}{a_{n}+1}(n∈N^{*})(1)若a1=3a_{1}=3，bn=2−anan−1(n∈N∗)b_{n}= \dfrac {2-a_{n}}{a_{n}-1}(n∈N^{*})…
  42. 42在本题中，kk 是一个正常数。 利用代数方法求解不等式 2x2−2k2x<x+k\frac{2x^2 - 2k^2}{x} < x + k。用 kk 表示你的答案。 由此，求不等式 2x2−10∣x∣<∣x∣+5\frac{2x^2 - 10}{|x|} < |x| + \sqrt{5}…
  43. 43不使用计算器，求解 1+6x≥x1 + \frac{6}{x} \ge x， 1+6∣x∣≥∣x∣1 + \frac{6}{|x|} \ge |x|。
  44. 44不等式3x+11−2x⩾0 \dfrac {3x+1}{1-2x}\geqslant 0的解集是 ___ ．
  45. 45函数 gg 定义为 g:x↦ln⁡(x−3)g : x \mapsto \ln\bigl(x - \sqrt{3}\bigr)，其中 x∈Rx \in \mathbb{R} 且 x>3x > \sqrt{3}。 解释你是如何知道 g−1g^{-1} 存在的。 求…
  46. 46等差数列的首项为 aa，公差为 dd，其中 a>0a > 0 且 d≠0d \ne 0。 该等差数列的第一、第六和第九项是某等比数列的连续三项。 证明 25d=−2a25d = -2a。 等差数列的前 nn 项和记为 SS。求满足 SS 大于…
  47. 47解不等式 x2−ax−ax−a≥a\displaystyle \frac{x^{2} - ax - a}{x - a} \ge a，其中 aa 为正实常数，答案用 aa 表示。 由此，通过使用合适的 aa 值，解不等式 4e2x−ex−14ex−1≥14\displaystyle \frac{4e^{2x} - e^{x} - 1}{4e^{x} - 1} \ge \tfrac{1}{4}…
  48. 48求处于区间 −π2 ⁣< ⁣θ ⁣< ⁣π2-\dfrac{\pi}{2}\!<\!\theta\!<\!\dfrac{\pi}{2} 内的 θ\theta 的取值集合，使得等比级数 1 + tan⁡θ+tan⁡2θ+tan⁡3θ+…\tan\theta + \tan^{2}\theta + \tan^{3}\theta + \dots…
  49. 49在不使用计算器的情况下，解不等式 (x2−2x+4)(x−3)(x+2)≥0.\frac{(x^2 - 2x + 4)(x - 3)}{(x + 2)} \ge 0. 由此解不等式 (x2−2∣x∣+4)(∣x∣−3)(∣x∣+2)≥0.\frac{(x^2 - 2|x| + 4)(|x| - 3)}{(|x| + 2)} \ge 0.…
  50. 50在不使用计算器的情况下，解不等式 3x2+12x2+3x−2>1\frac{3x^2 + 1}{2x^2 + 3x - 2} > 1。 由此，解不等式 3x2+12x2+3∣x∣−2>1\frac{3x^2 + 1}{2x^2 + 3|x| - 2} > 1。
  51. 51在同一幅图上画出 y=1+a−2x−ay = 1 + \frac{a-2}{x-a} 和 y=−1ax+2ay = -\frac{1}{a}x + \frac{2}{a} 的图像，其中 aa 是一个正常数且 1<a<21 < a < 2，并清晰标出所有渐近线和与坐标轴的交点…
  52. 52通过换元 y=∣x∣y = |x|，解不等式 ∣x∣+3x2+1>1\frac{|x| + 3}{x^2 + 1} > 1。
  53. 53曲线 CC 的方程为 y=ax2−2ax+a−2x−2,a∈R, a≠0.y=\frac{ax^2-2ax+a-2}{x-2},\quad a\in\mathbb{R},\ a\ne 0. 求 dydx\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}。 求使得 CC…
  54. 54不使用计算器，解不等式 2x2+3x2x2+x−1≤12x+2\frac{2x^2 + 3x}{2x^2 + x - 1} \le \frac{1}{2x + 2}。 利用第 (i) 部分的答案，求不等式 2cos⁡2x+3cos⁡x2cos⁡2x+cos⁡x−1≤12cos⁡x+2,\frac{2\cos^2 x + 3\cos x}{2\cos^2 x + \cos x - 1} \le \frac{1}{2\cos x + 2},…
  55. 55函数 f 的定义如下。 f : x−>−1x2+1x -> \displaystyle -\frac{1}{x^{2}+1}，其中 x∈Rx \in \mathbb{R}。 画出 y = f(x) 的图像草图。 如果 f 的定义域限制为 x≤kx \le k…
  56. 56函数 f\mathrm{f} 和 g\mathrm{g} 定义为 f:x↦x2+2x2x2−5x+2,x∈R+, x≠12,2,g:x↦−32x2−5x+2,x∈R+, x≠12,2.\begin{aligned} \mathrm{f} : x &\mapsto \frac{x^2 + 2x}{2x^2 - 5x + 2}, \quad x \in \mathbb{R}^+, \ x \ne \frac{1}{2}, 2, \\ \mathrm{g} : x &\mapsto \frac{-3}{2x^2 - 5x + 2}, \quad x \in \mathbb{R}^+, \ x \ne \frac{1}{2}, 2. \end{aligned}…
  57. 57已知 x3+5x2+8x+4=(x+2)2(x+1)x^3 + 5x^2 + 8x + 4 = (x + 2)^2(x + 1)，求使得 181−x≥x2+6x+14\frac{18}{1-x} \ge x^2 + 6x + 14 成立的 xx 的取值范围。 由此，求使得 181−∣x∣≥∣x∣2+6∣x∣+14\frac{18}{1-|x|} \ge |x|^2 + 6|x| + 14…
  58. 58将 33−8xx2+2x−15+2\dfrac{33-8x}{x^2+2x-15}+2 化简为单个代数分式。由此，在不使用计算器的前提下，求不等式 33−8xx2+2x−15>−2\dfrac{33-8x}{x^2+2x-15}>-2 的精确解。 利用你在 (a) 部分的解答，求满足 33−8e2xe4x+2e2x−15>−2\dfrac{33-8e^{2x}}{e^{4x}+2e^{2x}-15}>-2…
  59. 59图中显示了 y=∣a−bx∣y = |a - b x| 和 y=∣mx−6∣y = |m x - 6| 的图像，其中 a,ba, b 和 mm 是正常数。y=∣a−bx∣y = |a - b x| 的图像与 x 轴相交于点 (94,0)\left(\tfrac{9}{4},0\right)…
  60. 60一个等比级数的公比为 rr，一个等差级数的首项为 aa，公差为 dd，其中 aa 和 dd 均非零。该等比级数的前三项分别等于该等差级数的第一项、第四项和第六项。 证明 3r2−5r+2=03r^{2} - 5r + 2 = 0。 由此推导该等比…