$x>1$是$\log_{\frac{1}{2}}\left({x+2}\right)< 0$的$(\quad)$

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

1. 解对数不等式以确定等价条件

由对数函数 $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ 在其定义域上单调递减可知，对数不等式：
$\log_{\frac{1}{2}} (x+2) < 0$
等价于：
$\begin{cases} x+2 > 1 \\ x+2 > 0 \end{cases}$
解得 $x > -1$.
因此，条件 $\log_{\frac{1}{2}} (x+2) < 0$ 等价于 $x > -1$.

2. 判断充分条件与必要条件的关系并得出结论

设 $p: x > 1$，$q: x > -1$.
因为集合 $(1, +\infty) \varsubsetneq (-1, +\infty)$，
所以由 $x > 1$ 可以推出 $x > -1$，即 $p \implies q$ 成立；
而由 $x > -1$ 推不出 $x > 1$，即 $q \implies p$ 不成立.
因此，"$x > 1$" 是 "$\log_{\frac{1}{2}} (x+2) < 0$" 的充分不必要条件.
故本题选 A.