已知函数$f(x)=\ln(x+\sqrt{{{x}^{2}}+1})+1$，若正实数$a\text{ },\text{ }b$满足$f(4a)+f(b-1)=2$，则$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$的最小值为___

1. 构造辅助函数并利用奇偶性与单调性求出 $a, b$ 的线性关系

设 $g(x) = f(x) - 1 = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$。
对任意 $x \in \mathbb{R}$，有：
$g(-x) = \ln(-x + \sqrt{(-x)^2 + 1}) = \ln(\sqrt{x^2 + 1} - x) = \ln\left(\frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}}\right) = -\ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) = -g(x)$
故 $g(x)$ 为奇函数。
又因为 $y = x + \sqrt{x^2 + 1}$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增且大于0，所以 $g(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增。
根据题意，$f(4a) + f(b-1) = 2 \iff [g(4a) + 1] + [g(b-1) + 1] = 2 \iff g(4a) + g(b-1) = 0$。
利用奇函数和单调性，$g(4a) = -g(b-1) = g(1-b)$，故 $4a = 1 - b$，即 $4a + b = 1$。

2. 利用基本不等式求 $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}$ 的最小值

因为 $a, b$ 为正实数，且 $4a + b = 1$，利用“乘1法”展开：
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right)(4a + b) = 4 + \frac{b}{a} + \frac{4a}{b} + 1 = 5 + \left(\frac{b}{a} + \frac{4a}{b}\right)$
由基本不等式 $x + y \ge 2\sqrt{xy}$（$x, y > 0$），可得：
$\frac{b}{a} + \frac{4a}{b} \ge 2\sqrt{\frac{b}{a} \cdot \frac{4a}{b}} = 2\sqrt{4} = 4$
当且仅当 $\frac{b}{a} = \frac{4a}{b} \implies b = 2a$ 时等号成立。
结合 $4a + b = 1$，解得 $a = \frac{1}{6}, b = \frac{1}{3}$，符合 $a, b > 0$。
因此，$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}$ 的最小值为 $5 + 4 = 9$。