已知a=ln⁡22a=\dfrac{\ln 2}{2},b=ln⁡33b=\dfrac{\ln 3}{3},c=ln⁡66c=\dfrac{\ln 6}{6},则aa,bb,cc的大小关系是()(\quad)
A. c>b>ac>b>a
B. b>a>cb>a>c
C. a>b>ca>b>c
D. c>a>bc>a>b

先不看答案,让 AI 诊断你卡在哪里?

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完整解法

1. 将对数式变形,化为同分母形式

根据对数的运算性质,将 a,b,ca, b, c 进行通分变形,使其分母均为 66:
a=ln⁡22=3ln⁡26=ln⁡236=ln⁡86a = \frac{\ln 2}{2} = \frac{3\ln 2}{6} = \frac{\ln 2^3}{6} = \frac{\ln 8}{6}
b=ln⁡33=2ln⁡36=ln⁡326=ln⁡96b = \frac{\ln 3}{3} = \frac{2\ln 3}{6} = \frac{\ln 3^2}{6} = \frac{\ln 9}{6}
c=ln⁡66c = \frac{\ln 6}{6}

2. 利用单调性比较分子大小并得出最终大小关系

因为自然对数函数 y=ln⁡xy = \ln x 在 (0,+∞)(0, +\infty) 上是单调递增函数,且 6<8<96 < 8 < 9,
所以 ln⁡6<ln⁡8<ln⁡9\ln 6 < \ln 8 < \ln 9,
进而可得:
ln⁡66<ln⁡86<ln⁡96\frac{\ln 6}{6} < \frac{\ln 8}{6} < \frac{\ln 9}{6}
即 c<a<bc < a < b,也就是说 b>a>cb > a > c。
故正确选项为 B。

答案

B

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