1. 确定端点 $x=1$ 和 $x=2$ 的函数值符号
已知函数为 f(x)=lnx+2x−5,定义域为 (0,+∞)。
计算区间端点的值:
当 x=1 时,f(1)=ln1+2×1−5=0+2−5=−3<0;
当 x=2 时,f(2)=ln2+2×2−5=ln2−1。
因为 e≈2.718>2,所以 ln2<lne=1,
从而 f(2)=ln2−1<0。
由此可知,在区间 (1,2) 的端点函数值同号,无法确定是否存在零点。
2. 计算端点 $x=3$ 的函数值并应用零点存在性定理
当 x=3 时,f(3)=ln3+2×3−5=ln3+1。
因为 3>1,所以 ln3>0,
从而 f(3)=ln3+1>0。
因为 f(2)<0 且 f(3)>0,且 f(x) 在区间 [2,3] 上是连续函数,
根据函数零点存在性定理,函数 f(x) 的零点一定位于区间 (2,3) 内。
故正确选项为 B。