f(x)=㏑x+2x-5的零点一定位于以下的区间( )
A. (1,2)
B. (2,3)
C. (3,4)
D. (4,5)

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完整解法

1. 确定端点 $x=1$ 和 $x=2$ 的函数值符号

已知函数为 f(x)=ln⁡x+2x−5f(x) = \ln x + 2x - 5,定义域为 (0,+∞)(0, +\infty)。
计算区间端点的值:
当 x=1x=1 时,f(1)=ln⁡1+2×1−5=0+2−5=−3<0f(1) = \ln 1 + 2 \times 1 - 5 = 0 + 2 - 5 = -3 < 0;
当 x=2x=2 时,f(2)=ln⁡2+2×2−5=ln⁡2−1f(2) = \ln 2 + 2 \times 2 - 5 = \ln 2 - 1。
因为 e≈2.718>2e \approx 2.718 > 2,所以 ln⁡2<ln⁡e=1\ln 2 < \ln e = 1,
从而 f(2)=ln⁡2−1<0f(2) = \ln 2 - 1 < 0。
由此可知,在区间 (1,2)(1, 2) 的端点函数值同号,无法确定是否存在零点。

2. 计算端点 $x=3$ 的函数值并应用零点存在性定理

当 x=3x=3 时,f(3)=ln⁡3+2×3−5=ln⁡3+1f(3) = \ln 3 + 2 \times 3 - 5 = \ln 3 + 1。
因为 3>13 > 1,所以 ln⁡3>0\ln 3 > 0,
从而 f(3)=ln⁡3+1>0f(3) = \ln 3 + 1 > 0。
因为 f(2)<0f(2) < 0 且 f(3)>0f(3) > 0,且 f(x)f(x) 在区间 [2,3][2, 3] 上是连续函数,
根据函数零点存在性定理,函数 f(x)f(x) 的零点一定位于区间 (2,3)(2, 3) 内。
故正确选项为 B。

答案

B

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