函数$y=\log_{2}(x+\dfrac{1}{x-1}+5)(x>1)$的最小值为$(\quad)$

A. $4$

B. $-4$

C. $-3$

D. $3$

1. 对真数部分的代数式进行恒等变形，并利用基本不等式求得其最小值

令真数部分为 $u = x + \dfrac{1}{x-1} + 5$。
因为 $x > 1$，所以 $x - 1 > 0$。
我们将 $u$ 变形为：
$u = (x - 1) + \dfrac{1}{x-1} + 6$
由基本不等式 $a + b \ge 2\sqrt{ab}$（$a, b > 0$），可得：
$(x - 1) + \dfrac{1}{x-1} \ge 2\sqrt{(x - 1) \cdot \dfrac{1}{x-1}} = 2$
当且仅当 $x - 1 = \dfrac{1}{x-1}$ 即 $x = 2$ 时等号成立，且 $2 > 1$ 符合题意。
因此，$u \ge 2 + 6 = 8$，即真数部分 $x + \dfrac{1}{x-1} + 5$ 的最小值为 $8$。

2. 结合对数函数的单调性，求得原函数的最小值并进行选择

分析对数函数 $y = \log_{2} u$ 的单调性：
由于底数 $2 > 1$，因此函数 $y = \log_{2} u$ 在其定义域 $(0, +\infty)$ 上是单调递增函数。
因为 $u \ge 8$，所以：
$y = \log_{2} u \ge \log_{2} 8 = 3$
因此，函数 $y = \log_{2}\left(x + \dfrac{1}{x-1} + 5\right)$ 的最小值为 $3$。
故正确选项为 D。