规定两数$a$，$b$之间的一种运算，记作$(a,b)$：如果$a^{c}=b$，那么$(a,b)=c$． 例如：因为$2^{3}=8$，所以$(2,8)=3$． (1) 根据上述规定，填空： $(3,27)=$，$(5,1)=$，$(2,\dfrac{1}{4} )=$__． (2)小明在研究这种运算时发现一个现象：$(3^{n},4^{n})=(3,4)$，小明给出了如下的证明： 设$(3^{n},4^{n})=x$，则$(3^{n})^{x}=4^{n}$，即$(3^{x})^{n}=4^{n}$ 所以$3^{x}=4$，即$(3,4)=x$， 所以$(3^{n},4^{n})=(3,4)$． 请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：$(3,4)+(3,5)=(3,20)$

1. 根据运算规定计算 $(3,27)$

设 $(3,27) = c_1$，根据定义可得 $3^{c_1} = 27$．
因为 $3^3 = 27$，所以 $c_1 = 3$，即 $(3,27) = 3$．

2. 根据运算规定计算 $(5,1)$

设 $(5,1) = c_2$，根据定义可得 $5^{c_2} = 1$．
因为 $5^0 = 1$，所以 $c_2 = 0$，即 $(5,1) = 0$．

3. 根据运算规定计算 $(2,\dfrac{1}{4})$

设 $(2,\dfrac{1}{4}) = c_3$，根据定义可得 $2^{c_3} = \dfrac{1}{4}$．
因为 $2^{-2} = \dfrac{1}{4}$，所以 $c_3 = -2$，即 $(2,\dfrac{1}{4}) = -2$．

1. 设出未知数并转换为指数表达式

设 $(3,4)=x$，$(3,5)=y$．
根据运算规定，可得 $3^x = 4$，$3^y = 5$．

2. 利用指数幂的性质得到等式关系

由指数幂的乘法性质，得：
$3^{x+y} = 3^x \cdot 3^y = 4 \times 5 = 20$．

3. 利用运算规定得出最终结论

因为 $3^{x+y} = 20$，
依据定义，可得 $(3,20) = x+y$．
所以 $(3,4) + (3,5) = (3,20)$．