已知命题$p$：不等式$|x-1|+|x+2|>m$的解集为$R$：命题$q$：$f(x)=\log_{(5-2m)}x$为减函数．则$¬p$是$¬q$成立的$(\quad)$

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

1. 化简命题 $p$，求出使不等式恒成立的 $m$ 的取值范围

由题意，命题 $p$ 为：不等式 $|x-1|+|x+2|>m$ 的解集为 $\mathbb{R}$，即对任意 $x \in \mathbb{R}$ 不等式恒成立．
根据绝对值的几何意义， $|x-1|+|x+2|$ 表示数轴上动点 $x$ 到 $1$ 和 $-2$ 的距离之和，其最小值为两定点之间的距离，即 $|1 - (-2)| = 3$．
因此，要使不等式恒成立，只需 $m < \min(|x-1|+|x+2|)$，即 $m < 3$．
所以命题 $p$：$m < 3$．

2. 化简命题 $q$，根据对数函数的单调性确定 $m$ 的取值范围

命题 $q$ 为：对数函数 $f(x)=\log_{(5-2m)}x$ 为减函数．
根据对数函数的性质，当且仅当底数介于 $0$ 与 $1$ 之间时，对数函数在定义域内单调递减．
所以 $0 < 5-2m < 1$．
解此不等式组：
由 $5-2m > 0$ 得 $m < \dfrac{5}{2}$；
由 $5-2m < 1$ 得 $2m > 4$，即 $m > 2$．
因此， $2 < m < \dfrac{5}{2}$．
所以命题 $q$：$2 < m < \dfrac{5}{2}$．

3. 利用等价命题转化思想判断 $\neg p$ 与 $\neg q$ 的条件关系

根据逆否命题的等价性，“$\neg p$ 是 $\neg q$ 的充分不必要条件”等价于“$q$ 是 $p$ 的充分不必要条件”．
我们判断 $q$ 与 $p$ 的推导关系：

• 当 $q$ 成立时，即 $2 < m < \dfrac{5}{2}$，显然可以推出 $m < 3$ 成立（因为区间 $(2, \dfrac{5}{2}) \subset (-\infty, 3)$），所以 $q \implies p$ 成立；
• 当 $p$ 成立时，即 $m < 3$，例如取 $m = 0$，此时 $q$ 不成立，所以 $p \not\implies q$．
  综上所述，$q$ 是 $p$ 的充分不必要条件．
  故 $\neg p$ 是 $\neg q$ 的充分不必要条件．
  因此正确答案为 A．