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Operations of derivatives

Differentiate simple functions from the definition, using standard derivative formulas, arithmetic rules, and the chain rule for f(ax+b).

Practice questions

1已知函数 $f(x)=x^{2}-ax(a\neq 0)$ ， $g(x)=\ln x$ ， $f(x)$ 图象与 $x$ 轴异于原点的交点 $M$ 处的切线为 $l_{1}$ ， $g(x-1)$ 与 $x$ 轴的交点 $N$ 处的切线为…
2已知函数 $f(x)={{e}^{x}}-1$ ， $g(x)=\sin x(1)$ 判断 $F(x)=f(x)-g(x)$ 在 $x\in[0,+\infty)$ 上零点的个数； (2)当 $x\in[0,\pi]$ 时， $f(x)\geqslant ag(x)(a\in R)$ …
3已知定义在 $R$ 上的函数 $f(x)$ 对任意 $x\in R$ 恒有 $f'(x)< 3$ ，若 $f(-1)=-7$ ，则不等式 $f(x)\geqslant 3x-4$ 的解集是 $(\quad)$ A. $(-∞,-1]\:$ …
4设 $f(x)$ 在 $[a,+∞)$ 的导函数为 $f'(x)$ ，且当 $x>a$ 时，有 $f'(x)>k>0(k$ 为常数 $)$ ，若 $f(a)< 0$ ，则在区间 $(a,a-\dfrac{f(a)}{k})$ 内，方程 $f(x)=0$ …
5曲线 $y=\sqrt{3x-2}$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程为 A. $x-2y+1=0$ B. $3x-y-2=0$ C. $3x-2y-1=0$ D. $3x+2y-5=0$
6已知 $f(x)=x\ln x$ ， $g(x)=-x^{2}+ax-3(1)$ 对 $x∈(0,+∞)$ ，不等式 $2f(x)\geqslant g(x)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围； (2)证明：对一切 $x∈(0,+∞)$ …
7定义在 $R$ 上的函数 $f(x)$ 满足： $f(x) > 1-f{{"}}(x)$ ， $f(0)=0$ ， $f{{"}}(x)$ 是 $f(x)$ 的导函数，则不等式 ${e}^{x}f(x) > {e}^{x}-1 ($ 其中 $e$ …
8若曲线 $y=x^{\mathrm{{-}}\frac{1}{2}}$ 在点 $(a,a^{\mathrm{{-}}\frac{1}{2}})$ 处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为 $18$ ，则 $a$ 的值为___.
9已知 $a$ 是正数，若互不相等的正实数 $x$ ， $y$ 满足等式 $\left(2x- \dfrac{y}{e}\right)·\ln \dfrac{y}{x}= \dfrac{x}{ae}$ ，则 $a$ 的最小值为 A. $e$ …
10函数 $f(x)= \dfrac {x^{4}}{4}- \dfrac {x^{3}}{3}$ 的极值点为 $()$ A. $0$ B. $-1$ C. $0$ 或 $1$ D. $1$
11下列求导运算正确的是 ( ) A. $( \dfrac{1}{\ln x} )′=x$ B. $( x·e^{x})′=e^{x}+1$ C. $( x{\,\!}^{2}\cos x)′=-2x\sin x$ D. $(x- \dfrac{1}{x})=1+ \dfrac{1}{{x}^{2}}$ …
12已知 $m>1$ ， $n>1$ ，且 $\ln m-\ln n=2n-m$ ，下列结论正确的是 $(\quad)$ ① $(\dfrac{1}{2})^{m}< (\dfrac{1}{2})^{n}$ ；② $\dfrac{n}{m}>\dfrac{n+1}{m+1}$ …
13若函数 $f(x)=\dfrac{e^{x-1}}{x}$ ， $g(x)=\dfrac{x}{1+\ln x}$ ，存在 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 使得 $f({x}_{1})=g({x}_{2})$ ，则下列说法不正确的是 $(\quad)$ …
14已知函数 $f(x)=e^{x}-\dfrac{e}{2}x^{2},f'(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数，若 $f'(a)=f(a)$ ，则 $a=(\quad)$ A. $0$ B. $-1$ C. $2$ D. $0$ …
15若函数 $y=x^{3}+x^{2}+mx+1$ 是 $R$ 上的单调函数，则实数 $m$ 的取值范围是 $()$ A. $( \dfrac{1}{3} ,+∞)$ B. $(-∞, \dfrac{1}{3} ]$ C. $[ \dfrac{1}{3} ,+∞)$ …
16 $∀x\in(0,+∞)$ ，不等式 $xe^{x-3}-x-\ln x\geqslant a$ 恒成立，则 $a$ 的最大值为 $(\quad)$ A. $-2$ B. $0$ C. $e^{-2}-1$ D. $-\ln 3$ …
17定义域为 $R$ 的可导函数 $y=f(x)$ 的导函数为 $f'(x)$ ，满足 $f(x)>f'(x)$ ，且 $f(1)=2$ ，则不等式 $f(x)< 2e^{x-1}$ 的解集为 $(\quad)$ A. $(1,+\infty)$ …
18若不等式 $\dfrac{t}{t^{2}+9}\leqslant μ\leqslant\dfrac{\sqrt{t^{2}+3}}{t+\sqrt{3}}$ 对任意的 $t\in(0,2]$ 上恒成立，则 $μ$ 的取值范围是 $(\quad)$ …
19已知正数 $x$ ， $y$ 满足 $y\ln x+y\ln y=e^{x}$ ，则 $xy-2x$ 的最小值为 $(\quad)$ A. $\dfrac{1}{2}\ln 2$ B. $2-2\ln 2$ C. $-\dfrac{1}{2}\ln 2$ …
20已知 $a > 0$ ，函数 $f(x)=x{\,\!}^{2}+a\ln x- ax$ 在 $(0,+∞)$ 上是增函数，则 $a$ 的范围为__
21已知 $0< a< 5$ 且 $a\ln 5=5\ln a$ ， $0< b< 6$ 且 $b\ln 6=6\ln b$ ， $0< c< 7$ 且 $c\ln 7=7\ln c$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为 $(\quad)$ …
22已知函数 $g(x)= \dfrac {1}{x\cdot \sin \theta }+\ln x{在}[1,+∞)$ 上为增函数，且 $θ∈(0,π),f(x)=mx- \dfrac {m-1+2e}{x}-\ln x,m∈R$ ． (1…
23已知函数 $f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx-a^{2}-7a$ 在 $x=1$ 处取得极大值 $10$ ，则 $\dfrac{a}{b}$ 的值为 $(\quad)$ A. $-\dfrac{2}{3}$ B. $-2$ …
24若曲线 $y=e^{-x}$ 上点 $P$ 处的切线平行于直线 $2x+y+1=0$ ，则点 $P$ 的坐标为 ___ ．
25函数 $f(x)=ax^{3}+(a-1)x^{2}+48(a-2)x+b$ 的图象关于原点对称，则 $f(x)$ 在 $[-4,4]$ 上 $()$ A. 单调递增 B. 单调递减 C. $[-4,0]$ 单调递增， $[0,4]$ …
26若函数 $f\left( x \right)$ 在定义域 $D$ 内的某个区间 $I$ 上是增函数，且 $F\left( x \right)=\dfrac{f\left( x \right)}{x}$ 在 $I$ 上也是增函数，则称 $y=f\left( x \right)$ …
27设曲线 $f(x)=ax^{2}$ 在点 $(2,4a)$ 处的切线与直线 $4x-y+4=0$ 垂直，则 $a=(\quad)$ A. $2$ B. $-\dfrac{1}{16}$ C. $\dfrac{1}{2}$ D.…
28若 $x$ ， $y$ 是实数， $e$ 是自然对数的底数， ${e}^{x+y+2}-3\leqslant\ln\left(y-2x+1\right)+3x$ ，则 $2x+y=$ ___.
29已知曲线 $y=\dfrac{|x|}{{{e}^{x}}}$ 在 $x=-1$ 处的切线和它在 $x={{x}_{0}}\left({x}_{0} > 0\right)$ 处的切线互相垂直，设 ${{x}_{0}}\in (\dfrac{m}{4},\dfrac{m+1}{4}),m\in Z$ …
30海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为 $30nmile/h$ ，当速度为 $10nmile/h$ 时，它的燃料费是每小时 $25$ 元，其余费用 $($ 无论速度如何 $)$ 都是每小时 $400$ 元.…
31已知函数 $f(x)=\ln x-nx(n > 0)$ 的最大值为 $g(n)$ ，则使 $g(n)-n+2 > 0$ 成立的 $n$ 的取值范围为( ) A. $(0,1)$ B. $(0,+∞)$ C. $\left( \left. 0, \dfrac{1}{4} \right. \right)$ …
32已知函数 $f(x)=a \ln (x+1)-x^{2}$ 在区间 $(0,1)$ 内任取两个实数 $p$ ， $q$ ，且 $p\neq q$ ，不等式 $\dfrac{f\left( p+1 \right)-f\left( q+1 \right)}{p-q} > 1$ …
33设函数 $f(x)=ax+ \dfrac {b}{x}$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $M( \sqrt {3},f( \sqrt {3}))$ 处的切线方程为 $2x-3y+2 \sqrt {3}=0$ ． $($ Ⅰ $)$ 求 $f(x)$ …
34已知 $f{\,\!}_{1}( x)=\sin x-\cos x$ ， $f_{n}{\,\!}_{+1}( x)$ 是 $f_{n}( x)$ 的导函数，即 $f{\,\!}_{2}( x)=f{\,\!}_{1}′( x)$ …
35已知函数 $y=f(x)$ 的导函数为 $f′(x)$ ，且 $f(x)=x^{2}f′( \dfrac {π}{3})+\sin x$ ，则 $f′( \dfrac {π}{3})=()$ A. $\dfrac {3}{6-4π}$ …
36设函数 $f(x)=\ln x$ ， $g(x)=\dfrac{x}{x+1}$ ，记 $F(x)=f(x)-g(x)(1)$ 求曲线 $y=f(x)$ 在 $x=e$ 处的切线方程； (2)求函数 $F(x)$ 在 $[\dfrac{1}{e},e^{2}]$ …
37设函数 $f(x)=x\ln\:x+2x^{3}$ ，则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,2)$ 处的切线方程是___.
38已知函数 $f(x)=e^{x-k}-x$ ， $(x∈R)(1)$ 当 $k=0$ 时，若函数 $f(x)\geqslant m$ 在 $R$ 上恒成立，求实数 $m$ 的取值范围； (2)试判断当 $k > 1$ 时，函数 $f(x)$ …
39已知函数 $f(x)= \dfrac {e^{x}-a}{x}$ ， $g(x)=a\ln x+a$ ． $(1)a=1$ 时，求 $F(x)=f(x)-g(x)$ 的单调区间； (2)若 $x > 1$ 时，函数 $y=f(x)$ 的图…
40已知函数 $f(x)=-x^{4}+8x^{2}+2021$ ，则 $f(x)$ 的一个单调增区间为 $(\quad)$ A. $(-3,0)$ B. $(0,1)$ C. $(1,3)$ D. $(2,4)$
41若 $x=-4$ 是函数 $f(x)=x^{2}(x+2m)$ 的极大值点，则函数 $f(x)$ 的极大值为 ___.
42已知函数 $f(x)= \dfrac {ax}{e^{x}}$ 在 $x=0$ 处的切线方程为 $y=x$ ． (1)求 $a$ 的值； (2)若对任意的 $x∈(0,2)$ ，都有 $\dfrac {1}{f(x)} > k+2x-x^{2}$ …
43已知 $y=f(x)$ 是定义在 $R$ 上的函数，且 $f(1)=1$ ， $f′(x) > 1$ ，则 $f(x) > x$ 的解集是 $()$ A. $(0,1)$ B. $(-1,0)∪(0,1)$ C. $(1,+∞)$ …
44已知函数 $f(x)=-\dfrac{1}{8}x+3\cos 2x$ 在 $x=0$ 处的切线与直线 $y=nx$ 垂直，若 $(1+x+x^{2})(1+x)^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+⋯+a_{n+2}x^{n+2}$ …
45已知函数 $f(x)=m\ln x$ ． (1)讨论函数 $F(x)=f(x)+ \dfrac {1}{x}-1$ 的单调性； (2)定义：“对于在区域 $D$ 上有定义的函数 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ ，若满足 $f(x)\leqslant g(x)$ …
46函数 $f(x)=x^{3}-3x^{2}+1$ 是减函数的区间为 ___ ．
47求函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ 的极值点和极值。
48已知两函数f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x3+5x2+4x,其中k为实数. (1)对任意x∈[-3,3]都有f(x)≤g(x)成立,求k的取值范围. (2)存在x∈[-3,3]使f(x)≤g(x)成立,求k的取值范围. (3)对…
49已知函数 $f\left(x\right)=\left(x-1\right)\ln x$ ， $.g\left(x\right)=x-\ln x-\dfrac{3}{e}(1)$ 求证：函数 $y=f\left(x\right)$ 的图象恒…
50若 $f(x)=\ln x$ ，则 $\overset{\lim}{\triangle x\rightarrow 0}\dfrac{f(1+2\triangle x)-f(1)}{\triangle x}=(\quad)$ A. $1$ …
51设函数 $f(x)=ax- \dfrac {a}{x}-2\ln x$ ． (1)若 $f(x)$ 在 $x=2$ 时有极值，求实数 $a$ 的值和 $f(x)$ 的极大值； (2)若 $f(x)$ 在定义域上是增函数，求实数 $a$ 的取…
52已知 $f(x)= \dfrac {x}{e^{x}}$ ， $f_{1}(x)=f′(x)$ ， $f_{2}(x)=[f_{1}(x)]′$ ， $…$ ， $f_{n+1}(x)=[f_{n}(x)]′$ ， $n∈N^{*}$ ，经…
53已知函数 $f(x)=x\sin x+a\cos x+x$ ， $a∈R$ ． $($ Ⅰ $)$ 当 $a=-1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,f(0))$ 处的切线方程； $($ Ⅱ $)$ 当 $a=2$ 时，求 $f(x)$ …
54已知函数 $f\left(x\right)=\dfrac{{\rm\ln}x}{x}-a\left(a\in R\right).(1)$ 若函数 $f(x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围； (2)设函数 $f(x)$ 的两个零点为 $m$ …
55已知抛物线 $C$ ： $y^{2}=2px(p > 0)$ ，圆 $M$ ： $(x-2)^{2}+y^{2}=4$ ，圆心 $M$ 到抛物线准线的距离为 $3$ ，点 $P(x_{0},y_{0})(x_{0}\geqslant 5)$ …
56曲线 $y=2x+\ln x$ 在 $x=1$ 处的切线的倾斜角为 $α$ ，则 $\cos α+\sin α$ 的值为( ) A. $\dfrac{ \sqrt{10}}{10}$ B. $\dfrac{ \sqrt{10}}{5}$ …
57已知函数 $f(x)=e^{x}$ ， $g(x)= \dfrac {a}{2}x+b(a,b∈R)$ ， (1)若 $h(x)=f(x)g(x)$ ， $b=1- \dfrac {a}{2}.$ 求 $h(x)$ 在 $[0,1]$ 上的…
58已知函数 $f(x)=e^{x}(x^{2}-2x+a)($ 其中 $a∈R$ ， $a$ 为常数， $e$ 为自然对数的底数 $)$ ． $($ Ⅰ $)$ 讨论函数 $f(x)$ 的单调性； $($ Ⅱ $)$ 设曲线 $y=f(x)$ …
59A curve $C$ has equation $y = 1 - \frac{1}{x}$ , where $x \ne 0$ . The line $l$ is the tangent to $C$ at $x = a$ , where $a$ …
60过点 $P(2,-1)$ 作抛物线 $C$ ： $x^{2}=2y$ 的两条切线，切点分别为 $A$ ， $B$ ，则直线 $AB$ 的方程为 ___.