已知 $f{\,\!}_{1}( x)=\sin x-\cos x$ ， $f_{n}{\,\!}_{+1}( x)$是 $f_{n}( x)$的导函数，即 $f{\,\!}_{2}( x)=f{\,\!}_{1}′( x)$， $f{\,\!}_{3}( x)=f{\,\!}_{2}′( x)$，$…$， $f_{n}{\,\!}_{+1}( x)=f_{n}′( x)$， $n∈N^{*}$，则 $f{\,\!}_{2012}( x)=$( )

A. $\sin x+\cos x$

B. $\sin x-\cos x$

C. $-\sin x+\cos x$

D. $-\sin x-\cos x$

1. 依次求出 $f_2(x), f_3(x), f_4(x), f_5(x)$ 的表达式

已知 $f_1(x) = \sin x - \cos x$。
根据导数公式，求得：
$f_2(x) = f_1'(x) = (\sin x - \cos x)' = \cos x - (-\sin x) = \sin x + \cos x$
$f_3(x) = f_2'(x) = (\sin x + \cos x)' = \cos x - \sin x$
$f_4(x) = f_3'(x) = (\cos x - \sin x)' = -\sin x - \cos x$
$f_5(x) = f_4'(x) = (-\sin x - \cos x)' = -\cos x - (-\sin x) = \sin x - \cos x$

2. 分析导函数的周期性变化规律

观察可得 $f_5(x) = f_1(x) = \sin x - \cos x$。
由此可知，函数序列 $f_n(x)$ 的值呈现以 $4$ 为周期的循环，即 $f_{n+4}(x) = f_n(x)$，其中 $n \in \mathbb{N}^*$。

3. 结合周期性计算 $f_{2012}(x)$ 的值

计算项数：
$2012 \div 4 = 503 \dots 0$
因此，$f_{2012}(x) = f_4(x) = -\sin x - \cos x$
故选项D正确。