海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为$30nmile/h$，当速度为$10nmile/h$时，它的燃料费是每小时$25$元，其余费用$($无论速度如何$)$都是每小时$400$元.如果甲、乙两地相距$800nmile$，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为___$nmile/h$．

1. 设出燃料费与航速的关系式，并利用已知条件确定比例系数

设海轮每小时使用的燃料费为 $y$（元），航速为 $v$（$\text{nmile/h}$）。
由题意，每小时燃料费与航速的立方成正比，可设 $y = kv^3$（$0 < v \le 30$）。
将 $v = 10, y = 25$ 代入关系式中，得：
$25 = k \cdot 10^3 \implies k = \frac{25}{1000} = \frac{1}{40}$
所以燃料费关于航速 $v$ 的函数关系式为：$y = \frac{1}{40} v^3$。

2. 根据总费用的组成建立总费用与速度的函数关系式

海轮从甲地航行到乙地路程为 $800\text{ nmile}$，以航速 $v$ 航行所需的时间为 $t = \frac{800}{v}$ 小时。
每小时的其余费用为 $400$ 元，故每小时总费用为 $\frac{1}{40} v^3 + 400$ 元。
设从甲地航行到乙地的总费用为 $w$（元），则有：
$w(v) = \left(\frac{1}{40} v^3 + 400\right) \cdot \frac{800}{v} = 20 v^2 + \frac{320000}{v} \quad (0 < v \le 30)$

3. 求导数并计算函数的驻点

对总费用函数 $w(v)$ 进行求导，得：
$w'(v) = 40v - \frac{320000}{v^2}$
令 $w'(v) = 0$，即 $40v - \frac{320000}{v^2} = 0$，
化简得 $v^3 = 8000$，解得 $v = 20$。

4. 通过分析单调性得出总费用最低时的航速

在航速的取值范围 $0 < v \le 30$ 内：
当 $0 < v < 20$ 时，$w'(v) < 0$，函数 $w(v)$ 单调递减；
当 $20 < v \le 30$ 时，$w'(v) > 0$，函数 $w(v)$ 单调递增。
因此，当 $v = 20$ 时，总费用函数 $w(v)$ 取得极小值，也即是区间 $(0, 30]$ 上的最小值。
故要使总费用最低，海轮的航速应为 $20\text{ nmile/h}$。