某厂家计划在$2016$年举行商品促销活动，经调查测算，该商品的年销售量$m$万件与年促销费用$x$万元满足：$m=3- \dfrac {2}{x+1}$，已知$2016$年生产该产品的固定投入为$8$万元，每生产$1$万件该产品需要再投入$16$万元，厂家的产量等于销售量，而销售收入为生产成本的$1.5$倍$($生产成本由固定投入和再投入两部分资金组成$)$． (1)将$2016$年该产品的利润$y$万元表示为年促销费用$x$万元的函数； (2)该厂$2016$年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

1. 表示生产成本与销售收入的代数式

根据题意，生产成本由固定投入和再投入组成，即生产成本为 $8 + 16m$ 万元。
又因为销售收入为生产成本的 $1.5$ 倍，所以销售收入为 $1.5 imes (8 + 16m) = 12 + 24m$ 万元。

2. 表示利润关于销售量与促销费用的关系式

利润 $y$ 等于销售收入减去生产成本，再减去促销费用 $x$：
$y = (12 + 24m) - (8 + 16m + x) = 4 + 8m - x$ 万元。

3. 代入年销售量公式，求得利润关于年促销费用的函数关系式

将 $m = 3 - \dfrac{2}{x+1}$ 代入 $y = 4 + 8m - x$ 中，得：
$y = 4 + 8\left(3 - \dfrac{2}{x+1}\right) - x = 28 - x - \dfrac{16}{x+1}$ 万元。
因为促销费用 $x \ge 0$，所以利润 $y$ 万元关于年促销费用 $x$ 万元的函数解析式为：
$y = 28 - x - \dfrac{16}{x+1}$ ($x \ge 0$)。

1. 利用基本不等式计算利润的最大值

由第(1)问知，利润函数可以变形为：
$y = 29 - \left[(x+1) + \dfrac{16}{x+1}\right]$。
因为 $x \ge 0$，所以 $x+1 > 0$。
根据基本不等式，得：
$(x+1) + \dfrac{16}{x+1} \ge 2\sqrt{(x+1) \cdot \dfrac{16}{x+1}} = 8$。
因此，$y \le 29 - 8 = 21$ 万元。

2. 确定取得最大值时对应的自变量 $x$ 的值

当且仅当 $x+1 = \dfrac{16}{x+1}$，即 $(x+1)^2 = 16$ 时，等号成立。
由于 $x \ge 0$，解得 $x+1 = 4 \implies x = 3$ 万元。
所以，该厂2016年的促销费用投入 $3$ 万元时，厂家的利润最大，最大利润为 $21$ 万元。