已知两函数f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x3+5x2+4x,其中k为实数. (1)对任意x∈[-3,3]都有f(x)≤g(x)成立,求k的取值范围. (2)存在x∈[-3,3]使f(x)≤g(x)成立,求k的取值范围. (3)对任意x1,x2∈[-3,3]都有f(x1)≤g(x2),求k的取值范围.

1. 将不等式分离参数并构造新函数

对于任意 $x \in [-3, 3]$，都有 $f(x) \le g(x)$ 成立，即：
$8x^2 + 16x - k \le 2x^3 + 5x^2 + 4x$
移项分离参数 $k$，得：
$k \ge -2x^3 + 3x^2 + 12x$
设 $F(x) = -2x^3 + 3x^2 + 12x$（$x \in [-3, 3]$），则原命题等价于 $k \ge F(x)_{\max}$。

2. 对 $F(x)$ 求导并求其在 $[-3, 3]$ 上的最大值

对 $F(x)$ 求导得：
$F'(x) = -6x^2 + 6x + 12 = -6(x^2 - x - 2) = -6(x - 2)(x + 1)$
令 $F'(x) = 0$，解得驻点为 $x = -1$ 和 $x = 2$。
计算 $F(x)$ 在区间端点及驻点处的函数值：

• $F(-3) = -2(-3)^3 + 3(-3)^2 + 12(-3) = 54 + 27 - 36 = 45$
• $F(-1) = -2(-1)^3 + 3(-1)^2 + 12(-1) = 2 + 3 - 12 = -7$
• $F(2) = -2(2)^3 + 3(2)^2 + 12(2) = -16 + 12 + 24 = 20$
• $F(3) = -2(3)^3 + 3(3)^2 + 12(3) = -54 + 27 + 36 = 9$

比较可知，在区间 $[-3, 3]$ 上，$F(x)$ 的最大值为 $F(-3) = 45$。
故 $k \ge 45$。

1. 将存在性命题转化为求最小值问题

存在 $x \in [-3, 3]$ 使 $f(x) \le g(x)$ 成立，即存在 $x \in [-3, 3]$ 使 $k \ge -2x^3 + 3x^2 + 12x$ 成立。
令 $F(x) = -2x^3 + 3x^2 + 12x$（$x \in [-3, 3]$），则该条件等价于 $k \ge F(x)_{\min}$。

2. 结合第(1)问结果求 $F(x)$ 的最小值并得出 $k$ 的范围

由第(1)问可知，在区间 $[-3, 3]$ 上 $F(x)$ 的各关键点函数值为：
$F(-3) = 45, \quad F(-1) = -7, \quad F(2) = 20, \quad F(3) = 9$
比较可知，$F(x)$ 在 $[-3, 3]$ 上的最小值为 $F(-1) = -7$。
因此，$k$ 的取值范围为 $k \ge -7$。

1. 分析双变量不等式的充要条件

对任意 $x_1, x_2 \in [-3, 3]$，都有 $f(x_1) \le g(x_2)$ 成立，其充要条件是：
$f(x_1)_{\max} \le g(x_2)_{\min} \quad (x_1, x_2 \in [-3, 3])$

2. 求 $f(x)$ 在 $[-3, 3]$ 上的最大值

$f(x) = 8x^2 + 16x - k = 8(x + 1)^2 - 8 - k$。
该二次函数图象开口向上，对称轴为 $x = -1$。
在区间 $[-3, 3]$ 上，距对称轴最远的点为 $x = 3$。
因此，$f(x)$ 在 $x = 3$ 处取得最大值：
$f(x)_{\max} = f(3) = 8(3)^2 + 16(3) - k = 72 + 48 - k = 120 - k$

3. 求 $g(x)$ 在 $[-3, 3]$ 上的最小值

对 $g(x) = 2x^3 + 5x^2 + 4x$ 求导得：
$g'(x) = 6x^2 + 10x + 4 = 2(3x + 2)(x + 1)$
令 $g'(x) = 0$，解得驻点为 $x = -1$ 和 $x = -\dfrac{2}{3}$。
计算各关键点的函数值：

• $g(-3) = 2(-3)^3 + 5(-3)^2 + 4(-3) = -54 + 45 - 12 = -21$
• $g(-1) = 2(-1)^3 + 5(-1)^2 + 4(-1) = -2 + 5 - 4 = -1$
• $g\left(-\frac{2}{3}\right) = 2\left(-\frac{8}{27}\right) + 5\left(\frac{4}{27}\right) + 4\left(-\frac{2}{3}\right) = -\frac{68}{27} \approx -2.52$
• $g(3) = 2(3)^3 + 5(3)^2 + 4(3) = 54 + 45 + 12 = 111$

比较可知，在区间 $[-3, 3]$ 上，$g(x)$ 的最小值为 $g(-3) = -21$。

4. 根据最值不等式求解 $k$ 的范围

由 $f(x_1)_{\max} \le g(x_2)_{\min}$，得：
$120 - k \le -21$
解得：
$k \ge 141$